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函数极限是微积分中的核心概念。当自变量x无限接近某个值a时，如果函数f(x)的值无限接近某个常数L，我们就说L是函数f(x)当x趋于a时的极限。以函数f(x)等于2x加1为例，当x趋近于2时，函数值趋近于5。让我们通过图像来观察这个过程。
现在我们来学习函数极限的严格数学定义，也就是著名的ε-δ定义。这个定义说：函数f(x)当x趋于a时的极限是L，当且仅当对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得当x与a的距离小于δ时，f(x)与L的距离就小于ε。在图像上，ε确定了L周围的水平带状区域，而δ确定了a周围的垂直区域。当我们改变ε和δ的值时，可以看到它们之间的对应关系。
在某些情况下，函数在某点的左右两侧可能有不同的趋势，这就需要引入左极限和右极限的概念。左极限是指x从左侧趋近于a时函数的极限值，右极限是指x从右侧趋近于a时函数的极限值。函数在某点的极限存在，当且仅当左极限和右极限都存在且相等。让我们通过一个分段函数来观察这个过程。当左右极限相等时，双侧极限存在；当左右极限不相等时，极限不存在。
极限的运算法则是计算复杂极限的重要工具。基本法则包括：两个函数和或差的极限等于各自极限的和或差；两个函数积的极限等于各自极限的积；两个函数商的极限等于各自极限的商，但要求分母的极限不为零。让我们通过一个具体例题来演示这些法则的应用。计算x趋于2时，x²加3x减2除以x加1的极限。首先应用商的极限法则，然后应用和的极限法则，接着代入极限值，最后得到结果8/3。
在极限理论中，有两个非常重要的标准极限。第一个是当x趋于0时，sinx除以x的极限等于1。这个极限在三角函数相关的极限计算中经常用到。第二个重要极限是当x趋于无穷时，1加1/x的x次方的极限等于自然常数e，约等于2.718。让我们通过图像来观察这两个极限的收敛过程。第一个图显示了sinx/x函数，可以看到当x接近0时函数值趋于1。第二个图显示了(1+1/x)^x函数随x增大逐渐趋于e的过程。