视频字幕
在古代，建筑师们面临一个重要问题：如何确保建筑物的墙角是完全垂直的？他们发现了一个神奇的规律：当用绳子围成边长为3、4、5的三角形时，这个三角形总是直角三角形。这个发现帮助他们建造了许多伟大的建筑。
让我们来验证一下这个神奇的比例。三的平方是9，四的平方是16，五的平方是25。我们发现9加16正好等于25！这就是著名的勾股定理的一个特例。
现在让我们来证明勾股定理。我们使用经典的正方形拼接证明法。首先构造一个边长为a加b的大正方形，然后用四个全等的直角三角形来填充这个正方形。
接下来计算面积。大正方形的面积等于a加b的平方，也等于四个直角三角形的面积加上中心正方形的面积。四个三角形的面积是4乘以二分之一ab，等于2ab，加上中心正方形面积c的平方。
现在我们建立等式。大正方形面积a加b的平方，展开得到a平方加2ab加b平方，这等于2ab加c平方。消去两边的2ab，我们得到了著名的勾股定理：a平方加b平方等于c平方。
让我提出一个思考问题：如果三角形不是直角三角形，这个关系还成立吗？答案是不成立。勾股定理只适用于直角三角形，这是它的重要特征。
现在我们来看勾股定理的两个经典应用场景。第一个是梯子靠墙问题：一个5米长的梯子靠在4米高的墙上，问梯子底端距离墙多远？
这是一个典型的直角三角形问题。我们知道斜边c等于5米，一条直角边b等于4米，要求另一条直角边a。根据勾股定理：a的平方加4的平方等于5的平方，所以a的平方等于25减16等于9，因此a等于3米。
第二个场景是矩形对角线问题。已知长方形的长是6米，宽是8米，求对角线的长度。我们可以把矩形分成两个直角三角形来解决。
对角线把矩形分成两个全等的直角三角形。根据勾股定理：c的平方等于6的平方加8的平方，等于36加64等于100，所以c等于10米。这样我们就求出了对角线的长度。
现在我们来看两个更有挑战性的应用场景。第三个场景是最短路径问题：蚂蚁要从长方体底面的A点爬到对面顶点B点，求最短距离。
解决这个问题的关键思路是：将立体问题转化为平面问题。我们把长方体的表面展开，这样蚂蚁的最短路径就变成了平面上两点间的直线距离。让我提个问题：为什么要将立体问题转化为平面问题？
展开后，我们得到一个直角三角形，一边是4加3等于7厘米，另一边是5厘米。根据勾股定理，最短距离等于根号下7的平方加5的平方，等于根号74，约等于8.6厘米。
第四个场景是等腰三角形的高。已知等腰三角形底边8厘米，腰长5厘米，求高。高线将等腰三角形分成两个全等的直角三角形，每个直角三角形的底边是4厘米。
根据勾股定理：h的平方加4的平方等于5的平方，所以h的平方等于25减16等于9，因此h等于3厘米。这样我们就求出了等腰三角形的高。
最后一个应用场景是判断三角形形状。已知三角形三边长分别是3、4、5，我们要判断这是否为直角三角形。方法很简单：验证是否满足勾股定理。
计算结果：3的平方加4的平方等于9加16等于25，正好等于5的平方。因此这是一个直角三角形。现在让我们回顾一下前面学过的五种应用场景。
为了帮助大家更好地掌握勾股定理的应用，我总结了一个五步口诀：读题画图、找直角、标边长、列方程、算结果。这五个步骤是解决所有勾股定理问题的通用方法。
记住这个口诀，无论遇到什么样的直角三角形问题，都可以按照这五个步骤来解决。勾股定理就像一把万能钥匙，能够打开所有直角三角形问题的大门。希望同学们能够熟练掌握并灵活运用！