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欧拉公式是数学中最美妙的公式之一，它将指数函数e的ix次方表示为余弦x加上i倍正弦x的形式。当x等于π时，我们得到著名的欧拉恒等式。这个公式在复平面上有直观的几何意义：复数e的ix次方对应单位圆上的一点，其实部是余弦x，虚部是正弦x。接下来我们将使用泰勒级数来严格证明这个美妙的公式。
泰勒级数是函数分析中的重要工具。对于在点a处可无限次求导的函数f，其泰勒级数展开式为f在a处的各阶导数与相应幂次的无穷级数。当展开点为零时，我们称之为麦克劳林级数。右侧动画展示了指数函数e的x次方如何被其泰勒级数的前几项逐步逼近。重要的是，泰勒级数不仅适用于实数，在复数域中同样成立，这为我们证明欧拉公式奠定了基础。
现在我们来推导指数函数e的x次方的泰勒级数展开。首先计算e的x次方的各阶导数，我们发现一个美妙的性质：e的x次方的任意阶导数都等于它本身。在x等于0处求值，所有导数值都等于1。根据麦克劳林级数公式，我们得到e的x次方等于1加x加x的平方除以2的阶乘，加x的三次方除以3的阶乘，依此类推。右侧动画展示了级数的前几项如何逐步逼近指数函数。这个展开式对所有复数x都成立，这是我们证明欧拉公式的关键基础。
现在我们推导正弦和余弦函数的泰勒级数。对于正弦函数，其导数呈现循环模式：正弦的导数是余弦，余弦的导数是负正弦，负正弦的导数是负余弦，负余弦的导数又回到正弦。在x等于0处求值，我们得到正弦函数的级数展开：x减去x的三次方除以3的阶乘，加上x的五次方除以5的阶乘，依此类推，只包含奇数次幂项。类似地，余弦函数的级数展开为：1减去x的平方除以2的阶乘，加上x的四次方除以4的阶乘，依此类推，只包含偶数次幂项。右侧动画展示了这两个级数如何分别逼近正弦和余弦函数。
现在我们进入证明的关键步骤：将ix代入指数函数的泰勒级数。首先回顾虚数单位i的幂次规律：i的一次方等于i，i的二次方等于负1，i的三次方等于负i，i的四次方等于1，然后开始新的循环。这个四次循环的周期性是关键。将ix代入级数后，我们逐项计算各项的值，利用i的幂次规律进行化简。右侧图表展示了i的幂次循环，以及如何将展开的级数按实部和虚部进行分组。实部项包含偶数次幂，虚部项包含奇数次幂，这种分组为我们识别出余弦和正弦函数做好了准备。