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微积分是数学中最重要的分支之一，它研究变化和累积的规律。微积分由牛顿和莱布尼茨在17世纪独立发展，为现代科学技术奠定了数学基础。微积分包含两个主要分支：微分学研究函数的瞬时变化率，也就是导数；积分学研究函数的累积量，计算曲线下的面积。这两个分支看似不同，但通过微积分基本定理紧密联系在一起。
极限是微积分的基础概念，它描述函数在某点附近的行为。当自变量x无限接近某个值a时，函数f(x)所趋向的值就是极限。我们用符号lim表示极限。例如，当x趋近于2时，函数x的平方的极限等于4。通过动画可以看到，当点沿着抛物线逐渐接近目标点时，函数值也越来越接近4。这种逼近的思想是理解导数和积分的关键。
导数是微积分的核心概念，它表示函数在某点的瞬时变化率。从几何角度看，导数就是曲线在该点的切线斜率。导数的定义是当h趋近于0时，函数增量与自变量增量比值的极限。例如，x的平方的导数是2x。我们可以通过割线逼近切线的过程来理解导数。当两点之间的距离越来越小时，割线的斜率就越来越接近切线的斜率，这就是导数的几何意义。
积分是微积分的另一个重要概念，它用来计算曲线下方的面积，表示函数的累积量。定积分的定义是将区间分成无穷多个小矩形，当矩形数量趋于无穷时，所有矩形面积之和的极限。我们可以看到，当矩形数量增加时，矩形面积的总和越来越接近曲线下的实际面积。例如，x的平方从0到2的定积分等于三分之八。积分的基本公式是x的n次方的积分等于x的n加1次方除以n加1，再加上常数C。
微积分基本定理是连接微分和积分的重要桥梁，它揭示了导数和积分互为逆运算的关系。定理有两个部分：第一部分说明对积分求导等于被积函数本身；第二部分说明定积分可以通过反导数来计算。例如，2x从0到2的积分等于x的平方在2处的值减去在0处的值，即4减0等于4。这个定理不仅在理论上具有重要意义，在实际计算中也极其有用，它使我们能够通过反导数快速计算定积分，而不需要使用复杂的极限过程。