视频字幕
这是一道关于集合交集的题目。我们需要求出集合M与集合N的交集。集合M是函数y等于ln括号x平方加1的值域，集合N是不等式2的x次方小于4的解集。让我们逐步分析这两个集合，然后求出它们的交集。
现在我们来求解集合N。不等式2的x次方小于4，首先将4表示为2的平方。这样不等式变为2的x次方小于2的平方。由于指数函数y等于2的x次方是单调递增的，所以x小于2。因此集合N等于负无穷到2的开区间。在数轴上，这表示所有小于2的实数，注意2这个点不包含在内。
现在我们分析函数y等于ln括号x平方加1。首先确定定义域，由于x平方对所有实数都大于等于0，所以x平方加1大于等于1，恒大于0。因此函数的定义域是全体实数。接下来分析x平方加1的性质，它是一个开口向上的抛物线，最小值在x等于0时取得，此时x平方加1等于1。这个最小值对我们求函数值域非常重要。
现在我们求函数y等于ln括号x平方加1的值域，也就是集合M。由前面分析知道x平方加1大于等于1。利用对数函数的单调递增性质，当x平方加1大于等于1时，ln括号x平方加1大于等于ln1等于0。当x趋向正负无穷时，x平方加1趋向正无穷，所以ln括号x平方加1也趋向正无穷。因此函数的值域是从0到正无穷的闭区间，即集合M等于0到正无穷。
最后我们求集合M与集合N的交集。已知M等于0到正无穷的闭区间，N等于负无穷到2的开区间。交集M交N是既属于M又属于N的所有元素的集合。即x大于等于0且x小于2。在数轴上，蓝色表示集合M，红色表示集合N，绿色部分就是它们的交集。因此M交N等于0到2的左闭右开区间，答案是C。