视频字幕
量子力学的数学基础建立在希尔伯特空间之上。与经典物理不同，量子态需要用无穷维复向量空间来描述。我们从简单的二维向量空间开始理解，然后扩展到无穷维的抽象空间。在这个框架中，每个量子态都是希尔伯特空间中的一个矢量，满足叠加原理和内积的完备性。
波函数是量子力学中描述粒子状态的数学工具。它是一个复数函数，包含实部和虚部。波函数的模长平方给出了在某位置找到粒子的概率密度。波函数必须满足归一化条件，即在整个空间的概率积分等于一。这里展示的是一维势阱中粒子的波函数随时间的演化。
在量子力学中，物理量用厄米算符表示。位置算符就是位置本身，动量算符包含微分运算，哈密顿算符描述系统总能量。这些算符满足对易关系，体现了量子力学的不确定性原理。算符的本征值问题给出可观测量的可能测量结果，本征函数描述对应的量子态。厄米算符保证本征值为实数，本征函数相互正交。
薛定谔方程是量子力学的核心方程，描述量子系统的时间演化。从经典力学的哈密顿函数出发，通过正则量子化将动量替换为微分算符，得到量子力学的哈密顿算符。含时薛定谔方程描述波函数随时间的变化，而通过分离变量法可以得到定态薛定谔方程，其解给出系统的能量本征态和能级。
量子测量理论建立在统计诠释基础上。期望值通过波函数与算符的内积计算，方差描述测量结果的分散程度。海森堡不确定性原理表明，位置和动量不能同时精确测定，其乘积有下限。测量结果的概率由玻恩规则给出，等于相应本征态与系统态的内积模长平方。测量过程导致波函数坍缩到相应的本征态。