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微积分是数学中研究变化和累积的重要分支。它包含两大核心概念：导数和积分。导数描述函数在某点的瞬时变化率，几何上表示切线的斜率，在物理中可以表示速度或加速度。积分则描述累积量，几何上表示曲线下方的面积，在物理中可以表示总位移或总功。这两个概念互为逆运算，构成了微积分的基础框架。
极限是微积分的基础概念，它描述当自变量无限接近某个值时，函数值的变化趋势。让我们通过一个具体例子来理解极限。考虑函数f(x)等于x平方减4除以x减2，当x趋近于2时的极限。虽然在x等于2时函数未定义，但我们可以通过因式分解简化表达式。分子可以写成x减2乘以x加2，约去分母的x减2后，得到x加2。因此极限值等于2加2等于4。从图像上看，虽然函数在x等于2处有一个洞，但当x从左右两侧趋近于2时，函数值都趋近于4。
导数是微积分中的核心概念，它描述函数在某点的瞬时变化率。导数的定义是f撇x等于当h趋近于0时，f(x+h)减去f(x)再除以h的极限。从几何角度看，导数表示函数图像在该点处切线的斜率。让我们通过动画来理解这个过程：当我们在曲线上取两个点，连接它们得到割线。随着第二个点逐渐接近第一个点，也就是h逐渐趋近于0，割线的斜率逐渐接近切线的斜率，这就是导数的几何意义。在物理学中，导数还表示瞬时速度，即位置函数对时间的导数。
掌握基本求导法则是学习微积分的关键。首先是基本导数公式：x的n次方的导数是n乘以x的n减1次方；e的x次方的导数是它本身；自然对数x的导数是1除以x；正弦x的导数是余弦x。接下来是重要的求导法则：和差法则说明两函数和的导数等于各自导数的和；乘积法则告诉我们两函数乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数；链式法则用于复合函数求导。让我们看一个例子：对于f(x)等于x立方加2x平方减5x加1，应用幂函数求导法则和和差法则，得到f撇x等于3x平方加4x减5。图像显示了原函数和其导函数的关系，导函数的零点对应原函数的极值点。
积分是微积分的另一个核心概念，它是导数的逆运算。从几何角度看，定积分表示曲线下方的面积；从物理角度看，积分表示累积量，比如速度对时间的积分得到位移。积分有两种类型：定积分表示在区间a到b上函数f(x)的积分，结果是一个数值，代表面积；不定积分表示函数f(x)的原函数F(x)加上常数C，满足F撇x等于f(x)。定积分可以通过黎曼和来理解：我们将积分区间分成许多小矩形，每个矩形的面积近似为函数值乘以底边长度。当矩形数量趋于无穷时，这些矩形面积的和就趋近于曲线下方的精确面积。这个过程展示了积分的本质：通过无限细分来求得精确的累积量。