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我们来分析这个级数问题。给定的级数S从k等于1到2017，通项公式是负1的k加1次方乘以k除以2的k次方。这是一个交替级数，正负项交替出现。我们需要找到小于S的最大整数。让我们先理解这个级数的结构和规律。
为了计算有限级数S，我们引入对应的无穷级数T。无穷级数T是从k等于1到无穷大的同样形式的级数。有限级数S等于无穷级数T减去从2018项开始的余项R。由于级数的通项随着k增大而快速减小，余项R是一个极小的数值。这样我们可以通过计算无穷级数T来简化问题。
现在我们使用幂级数求导法来计算无穷级数T。从几何级数1除以1加x等于负1的k次方乘以x的k次方的无穷级数开始。对两边求导，左边得到负1除以1加x的平方，右边得到k乘以负1的k次方乘以x的k减1次方的级数。整理后代入x等于二分之一，得到T等于三分之四。
现在分析余项R。余项R等于从2018项开始的无穷级数。由于这是交替级数，首项是2018除以2的2018次方，这是一个正数。根据交替级数的性质，余项的绝对值小于首项。2的2018次方是一个极大的数，远大于10的600次方，所以余项R小于10的负600次方，是一个极小的正数。因此S等于九分之四减去这个极小的正数R。
现在进行最终的数值计算。S等于九分之四减去极小的正数R。九分之四等于零点四四四四循环，而R小于10的负600次方，是一个极小的正数。所以S约等于零点四四四四，略小于九分之四。由于S大于0且小于1，因此小于S的整数只有0。所以小于S的最大整数是0。