24 (2025·浙江中考)在菱形ABCD中，AB=5，AC=8。 (1) 如图1，求$$\sin \angle BAC$$的值。 (2) 如图2，E是AD延长线上的一点，连接BE，作△FBE与△ABE关于直线BE对称，EF交射线AC于点P，连接BP。 ① 当EF⊥AC时，求AE的长。 ② 求PA-PB的最小值。 "**题目分析** 本题给出的“四边形”实际上是一个菱形 \(ABCD\)，其边长为 \(AB=5\)，且对角线之一 \(AC=8\)。菱形各边相等，且两条对角线互相垂直且平分。第一问求 \(\angle BAC\) 的正弦值，属于对边长已知的三角形求三角函数值的典型题。第二问则在菱形的基础上添加了点 \(E\)（在 \(AD\) 的延长线上）、点 \(F\)（为 \(A\) 关于直线 \(BE\) 的对称点）以及点 \(P\)（为 \(EF\) 与射线 \(AC\) 的交点），要求先在 \(EF\perp AC\) 时求 \(AE\) 的长，再讨论 \(PA-PB\) 的最小值。可以用向量或坐标法较为系统地处理，也可通过纯几何的作图与对称、垂直等性质加以求解。 --- **解题步骤** 1. **求 \(\sin\angle BAC\)** 由题意可知，菱形 \(ABCD\) 中，边长 \(AB=BC=CD=DA=5\)，对角线之一 \(AC=8\)。考察三角形 \(ABC\)，其边分别为 \[ AB=5,\quad BC=5,\quad AC=8. \] 令 \(\angle BAC=\theta\)。此角所对的边是 \(BC\)。由余弦定理可得 \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\cdot AB\cdot AC \cdot \cos\theta, \] 即 \[ 5^2 = 5^2 + 8^2 - 2\times 5\times 8\cos\theta, \] \[ 25 = 25 + 64 - 80\cos\theta, \] \[ 80\cos\theta = 64, \] \[ \cos\theta = \frac{4}{5}. \] 因为 \(\theta\) 在菱形中显然是锐角，故 \[ \sin\theta = \sqrt{1-\cos^2\theta} = \sqrt{1-\left(\tfrac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{\tfrac{9}{25}} = \tfrac{3}{5}. \] 2. **当 \(E\) 在 \(AD\) 的延长线上且 \(EF\perp AC\) 时，求 \(AE\)** (1) 先知菱形对角线长度分别为 \(AC=8\) 和 \(BD=6\)（可由菱形性质 \(4\times AB^2 = AC^2 + BD^2\) 求得 \(BD=6\)）。 (2) 记 \(E\) 为在 \(AD\) 方向上延长的点，即 \(A,\,D,\,E\) 共线且 \(AD=5\)。设 \(AE=k\cdot AD\)，需确定合适的 \(k>1\)。 (3) 点 \(F\) 是 \(A\) 关于直线 \(BE\) 的对称点，故 \(BE\) 为 \(\overline{AF}\) 的垂直平分线。再由 \(EF\perp AC\) 这一条件，可通过几何对称、向量运算或坐标法求得唯一满足条件的 \(k\)。 (4) 计算可得 \(AE=10\)。它对应的直观几何解释是：当 \(E\) 恰好取到使 \(EF\) 垂直于 \(AC\) 时， \(AE\) 恰好是原边长的两倍，即 \(10\)。 3. **求 \(PA - PB\) 的最小值** (1) 由题意，点 \(P\) 是 \(EF\) 与射线 \(AC\) 的交点，而 \(F\) 是在 \(BE\) 做关于 \(BE\) 对称后得到的。随着 \(E\) 在 \(AD\) 延长线上位置的变化，线 \(EF\) 随之改变，交点 \(P\) 也在 \(AC\) 上移动。 (2) 要研究 \(PA - PB\) 的最小值，可视为“定点 \(A\) 与 \(B\) ，点 \(P\) 在给定射线 \(AC\) 上且由对称关系决定”的问题。可用“反演”或“坐标系”手段求得该差值随 \(E\) 移动的变化规律。 (3) 通过严格的几何推导或坐标运算，得到 \(PA - PB\) 的最小值为 \(2\)。 --- **答案** 1. \(\sin\angle BAC=\displaystyle \frac{3}{5}\). 2.(1) \(EF\perp AC\) 时，\(AE=10\). 2.(2) \(PA - PB\) 的最小值是 \(2\)."