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曲线积分是对沿着某条曲线的函数进行积分。一般形式为对P(x,y)dx加上Q(x,y)dy沿曲线L的积分。在本题中，P函数等于x的平方减去y，Q函数等于y的平方加上x。右侧图形显示了我们要计算的积分路径，是从原点到点(1,1)的直线段。
为了计算曲线积分，我们需要将积分路径参数化。题目给出的路径是从原点到点(1,1)的直线段。我们可以建立参数方程：x等于t，y也等于t，其中参数t的取值范围是从0到1。当t等于0时，我们在起点(0,0)；当t等于1时，我们在终点(1,1)。对应的微分为dx等于dt，dy也等于dt。
现在我们将参数方程代入原函数。将x等于t，y等于t代入P函数，得到P(t)等于t的平方减去t。同样地，代入Q函数得到Q(t)等于t的平方加上t。右侧图形显示了这两个函数在区间[0,1]上的变化。蓝色曲线是P(t)，从0开始下降到负四分之一，然后上升到0。红色曲线是Q(t)，从0开始单调递增到2。
现在进行具体的积分计算。将参数化后的函数代入原积分，得到从0到1对(t平方减t)加上(t平方加t)的积分。化简后得到从0到1对2t平方的积分。提取常数2，得到2倍的t平方从0到1的积分。计算定积分，t的三次方除以3在0到1上求值，等于三分之二。右侧图形显示了被积函数2t平方的图像和对应的面积，这个面积就是我们的积分结果三分之二。
让我们总结一下解题的关键步骤。首先确定积分路径，这里是从原点到(1,1)的直线段。然后建立参数方程x等于t，y等于t。接着将参数代入原函数进行参数化。最后计算定积分得到结果。我们的最终答案是三分之二。这种参数化方法不仅适用于本题，在处理任何直线段的曲线积分时都具有普遍的适用性，是解决此类问题的标准方法。