详细解答上图中的题目，---**Question Stem:** 在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，求直线 A₁B 与平面 A₁B₁CD 所成的角。 **Translation of Question Stem:** In the cube ABCD-A₁B₁C₁D₁, find the angle between line A₁B and plane A₁B₁CD. **Chart/Diagram Description:** * **Type:** Three-dimensional geometric figure, specifically an isometric projection of a cube. * **Main Elements:** * **Cube Vertices:** Labeled A, B, C, D (representing the bottom face) and A₁, B₁, C₁, D₁ (representing the top face). Vertex A₁ is directly above A, B₁ above B, C₁ above C, and D₁ above D. * **Cube Edges:** * **Solid Lines (Visible Edges):** A₁A, A₁B₁, B₁C₁, C₁C, BC, AB, A₁D₁, C₁D₁. * **Dashed Lines (Hidden Edges):** AD, DC, DD₁. * **Additional Lines Drawn:** * **Solid Line:** A₁B (represents a body diagonal of the cube). * **Solid Line:** A₁C (represents a face diagonal of the top face A₁B₁C₁D₁). * **Solid Line:** B₁C (represents a face diagonal of the side face BCC₁B₁). * **Dashed Line:** A₁D (represents a face diagonal of the side face ADD₁A₁). * **Dashed Line:** BD (represents a face diagonal of the bottom face ABCD). * **Planes Implied:** The problem refers to the plane A₁B₁CD, which is a non-standard cross-sectional plane of the cube, defined by four vertices. * **Relative Position:** The cube is oriented such that its bottom face ABCD is somewhat in the foreground and to the left, and its top face A₁B₁C₁D₁ is in the background and to the right, consistent with standard 3D perspective drawing conventions.

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我们来分析正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的结构。首先建立空间直角坐标系，以A为原点，AB、AD、AA₁分别为x、y、z轴正方向，设正方体棱长为a。这样各顶点坐标就确定了：底面ABCD的坐标分别为A(0,0,0)、B(a,0,0)、C(a,a,0)、D(0,a,0)，顶面A₁B₁C₁D₁的坐标分别为A₁(0,0,a)、B₁(a,0,a)、C₁(a,a,a)、D₁(0,a,a)。图中红色线段表示直线A₁B，蓝色平面表示平面A₁B₁CD。 现在我们开始计算。第一步，求直线A₁B的方向向量。设正方体棱长为1，则A₁坐标为(0,0,1)，B坐标为(1,0,0)。所以直线A₁B的方向向量为(1,0,-1)。第二步，求平面A₁B₁CD的法向量。平面上有四个点：A₁(0,0,1)、B₁(1,0,1)、C(1,1,0)、D(0,1,0)。我们取平面上两个向量A₁B₁和A₁D，分别为(1,0,0)和(0,1,-1)。设法向量为(x,y,z)，由垂直条件得到方程组，解得法向量为(0,1,1)。 第三步，计算线面角。线面角的正弦值等于直线方向向量与平面法向量夹角余弦值的绝对值。我们有直线方向向量(1,0,-1)和平面法向量(0,1,1)。它们的数量积为-1，方向向量的模长为根号2，法向量的模长也为根号2。因此正弦值等于1除以2，所以线面角为30度。 让我们总结一下解题步骤。第一步建立空间直角坐标系，第二步求出直线A₁B的方向向量，第三步求出平面A₁B₁CD的法向量，第四步应用线面角公式计算得出结果。最终答案是直线A₁B与平面A₁B₁CD所成的角为30度。向量法是解决立体几何问题的有效方法，需要注意线面角的范围是0度到90度，同时要区分线面角与法向量夹角的关系。 现在我们来求直线A₁B的方向向量。根据已建立的坐标系，A₁的坐标为(0,0,a)，B的坐标为(a,0,0)。直线A₁B的方向向量等于终点坐标减去起点坐标，即B减去A₁，得到(a,0,-a)。为了简化后续计算，我们设正方体的棱长a等于1，所以方向向量为(1,0,-1)。这个向量表示从点A₁指向点B的方向，是直线在空间中方向的数学表示。 接下来求平面A₁B₁CD的法向量。平面上有四个点：A₁(0,0,1)、B₁(1,0,1)、C(1,1,0)、D(0,1,0)。我们需要在平面上取两个不共线的向量。选择向量A₁B₁，其坐标为(1,0,0)，以及向量A₁D，其坐标为(0,1,-1)。设平面的法向量为(x,y,z)，根据法向量与平面内任意向量垂直的性质，建立方程组。通过计算得到x等于0，y减z等于0。取z等于1，得到法向量为(0,1,1)。 现在应用线面角公式进行计算。线面角的正弦值等于直线方向向量与平面法向量数量积的绝对值，除以两个向量模长的乘积。我们已知直线方向向量为(1,0,-1)，平面法向量为(0,1,1)。首先计算数量积：1乘以0加0乘以1加负1乘以1等于负1。然后计算两个向量的模长：方向向量的模长为根号2，法向量的模长也为根号2。因此正弦值等于1除以2，所以线面角θ等于30度。 最后我们通过几何直观来验证计算结果。在正方体中，我们可以看到直线A₁B与平面A₁B₁CD的交线情况。通过作出A₁B在平面上的投影，可以直观地看到30度的线面角。总结一下解题步骤：第一步建立空间直角坐标系，第二步求直线方向向量，第三步求平面法向量，第四步应用线面角公式计算。最终答案是直线A₁B与平面A₁B₁CD所成的角为30度。向量法的优势在于计算准确、步骤清晰，适用于各种复杂的立体几何问题，避免了复杂的几何作图。需要注意线面角的范围是0度到90度。