登山时，海拔随攀登时间不断升高，每多走一步，脚下的高度就增加一分，而下山时正好相反，海拔随行走时间逐渐降低，每向下迈一步，高度便减少一些。 游乐园的过山车，先是缓慢爬坡升高，到顶点后突然俯冲下降，接着又盘旋上升，高度随时间先增后减再增。 森林里的树木，树龄每增长一年，树干的直径就加粗一圈，年轮的圈数也会随时间持续增多。 清晨的山林间，太阳缓缓升起，气温从黎明的微凉逐渐攀升，每过一刻钟，体感便温暖几分；而到了傍晚，夕阳西下，温度又随着夜幕降临慢慢回落，直至深夜的寒凉。 银行的储蓄账户里，本金随着存期的延长不断产生利息，每多存一个月，账户余额就增加一点；但若中途取出部分现金，余额便会随之减少，之后又随着时间推移重新缓慢增长。 那么，如何用数学的方式精准描述这种“持续上升”“不断下降” 或交替变化的过程呢？今天，我们就来学习函数的单调性，用严谨的数学语言揭开这些变化背后的规律。

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在我们的日常生活中，许多现象都涉及到量的变化。登山时，海拔随攀登时间不断升高；过山车先是缓慢爬坡升高，到顶点后突然俯冲下降，接着又盘旋上升；清晨的山林间，气温从黎明的微凉逐渐攀升，而到了傍晚又随着夜幕降临慢慢回落。这些变化现象背后都蕴含着数学规律，今天我们就来学习如何用数学的方式精准描述这种持续上升、不断下降或交替变化的过程——函数的单调性。 现在我们来给出函数单调性的严格数学定义。设函数f(x)在区间I上有定义，如果对于区间I内任意两个数x1和x2，当x1小于x2时，都有f(x1)小于f(x2)，那么我们就说函数f(x)在区间I上单调递增。相反，如果当x1小于x2时，都有f(x1)大于f(x2)，那么函数f(x)在区间I上单调递减。从图像上看，单调递增函数的图像从左到右是上升的，而单调递减函数的图像从左到右是下降的。 判断函数单调性有一套标准的方法步骤。首先在给定区间内任取两个数x1小于x2，然后计算函数值的差f(x2)减去f(x1)，接着对这个差式进行因式分解，判断差式的正负性，最后根据符号得出结论。让我们用二次函数f(x)等于x的平方来演示这个过程。在负无穷到0的区间上，设x1小于x2小于0，计算差式得到x2的平方减去x1的平方，因式分解后得到x2减x1乘以x2加x1。由于x2减x1大于0，而x2加x1小于0，所以差式小于0，因此函数在该区间上单调递减。 现在我们来分析几个典型函数的单调性。对于二次函数f(x)等于ax²加bx加c，当a大于0时，函数图像是开口向上的抛物线，在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增。对于反比例函数f(x)等于k除以x，当k大于0时，函数在负无穷到0和0到正无穷两个区间上都单调递减；当k小于0时，函数在这两个区间上都单调递增。通过图像我们可以直观地看到这些函数的单调性规律。 现在我们通过一个综合例题来巩固单调性的判断方法。题目要求判断函数f(x)等于x加1除以x在区间1到正无穷上的单调性。按照标准步骤，我们设1小于x1小于x2，然后计算f(x2)减去f(x1)，经过通分和因式分解，得到x2减x1乘以1减1除以x1乘x2。由于x1和x2都大于1，所以x1乘x2大于1，因此1减1除以x1乘x2大于0，又x2减x1大于0，所以差式大于0，得出函数在该区间上单调递增。从图像上也可以验证这个结论。