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多元迴歸分析是統計學中的重要工具，用來分析一個依變數與多個自變數之間的關係。與簡單迴歸只考慮一個解釋變數不同，多元迴歸可以同時考慮多個影響因素，這樣能夠提高預測的準確性，並且更貼近現實世界的複雜情況。
讓我們來比較簡單迴歸和多元迴歸。簡單迴歸的數學式是Y等於β₀加β₁乘以X加誤差項，只涉及一個自變數X。而多元迴歸則包含多個自變數，其數學式為Y等於β₀加上多個β係數分別乘以對應的自變數，再加上誤差項。
多元迴歸分析有許多優點。首先，它可以同時考慮多個影響因素，而不像簡單迴歸只能分析一個變數的影響。其次，通過納入更多相關變數，能夠提高預測的準確性。第三，它能夠控制混淆變數的影響，使分析結果更可靠。第四，多元迴歸更貼近現實情況，因為大多數現象都受到多個因素的共同影響。最後，它還可以分析變數之間的交互作用。
讓我們看一個實際的應用範例：房價預測。在這個模型中，房價是我們要預測的依變數，而影響房價的因素包括房屋面積、房間數量、地段等級、屋齡以及交通便利性等多個自變數。通過多元迴歸分析，我們可以建立一個綜合考慮所有這些因素的預測模型。
總結來說，多元迴歸分析是一個強大的統計工具。它讓我們能夠同時分析多個變數的影響，建立更準確的預測模型，理解複雜的變數關係，並在經濟學、心理學、醫學、工程學等各個領域廣泛應用。掌握多元迴歸分析，有助於我們進行更深入的數據分析與科學研究。
多元迴歸的數學模型可以表示為：Y等於β₀加上β₁乘以X₁，加上β₂乘以X₂，一直到βₖ乘以Xₖ，最後加上誤差項ε。在這個公式中，Y是我們要預測的依變數，β₀是截距項，代表當所有自變數為零時Y的值。β₁到βₖ是迴歸係數，表示各自變數對依變數的影響程度。X₁到Xₖ是自變數，ε是誤差項，代表模型無法解釋的隨機變異。
多元迴歸分析有五個重要的基本假設。第一是線性關係假設，要求依變數與自變數之間存在線性關係。第二是獨立性假設，要求各觀測值相互獨立，不存在自相關。第三是同質變異數假設，要求誤差項的變異數在所有觀測值上保持恆定。第四是常態分布假設，要求誤差項服從常態分布。第五是無多重共線性假設，要求自變數之間不存在高度相關性。違反這些假設會影響分析結果的可靠性。
參數估計是多元迴歸分析的核心步驟。最常用的方法是最小平方法，簡稱OLS。其原理是找到一組係數，使得實際觀測值與預測值之間的殘差平方和最小。在矩陣形式中，係數的估計值可以表示為β帽等於X轉置乘以X的逆矩陣，再乘以X轉置，最後乘以y向量。這個公式提供了係數的最佳線性無偏估計。
模型評估是多元迴歸分析的重要環節。主要的評估指標包括：第一，決定係數R²，衡量模型解釋變異的比例，範圍從0到1，越接近1表示模型越好。第二，調整決定係數，考慮了變數個數的影響，避免因增加變數而虛高。第三，F統計量，用來檢驗整體模型的顯著性。第四，t統計量，用來檢驗個別迴歸係數的顯著性。這些指標幫助我們判斷模型的品質和可靠性。