今天我们来研究指数函数的伸缩变换。具体来说，我们要分析从 y 等于 3 的 x 次方到 y 等于 9 的 x 次方的变换过程。这两个函数都是指数函数，但它们的底数不同，这会导致函数图像发生特定的变化。
为了理解这个变换，我们首先分析两个函数的底数关系。注意到 9 等于 3 的平方，因此 y 等于 9 的 x 次方可以写成 y 等于 3 的 2x 次方。这意味着变换的本质是将指数从 x 变为 2x，这是一个水平压缩变换。
这是一个水平压缩变换。当函数从 f(x) 变为 f(kx) 且 k 大于 1 时，图像在水平方向被压缩，压缩因子为 1/k。在我们的例子中，k 等于 2，所以压缩因子为二分之一，即图像在水平方向压缩为原来的一半。我们可以看到关键点的变化：点(2,9)变为(1,9)，点(1,3)变为(0.5,3)，而点(0,1)保持不变。
现在让我们通过动态演示来观察这个变换过程。我们让指数从 x 逐渐变化到 2x，可以看到图像如何从 y 等于 3 的 x 次方逐渐变换为 y 等于 9 的 x 次方。注意观察图像变得越来越陡峭，增长速度越来越快，但点(0,1)始终保持不变，这是因为任何正数的0次方都等于1。
让我们总结一下这个伸缩变换。从 y 等于 3 的 x 次方到 y 等于 9 的 x 次方，本质上是 y 等于 3 的 2x 次方的水平压缩变换，压缩因子为二分之一。一般来说，当指数函数从 y 等于 a 的 x 次方变为 y 等于 a 的 kx 次方时，如果 k 大于 1，图像会水平压缩；如果 k 在 0 到 1 之间，图像会水平拉伸。这种变换在复利计算、人口增长模型等实际应用中非常重要。