生成这个题目的讲解---**Question Stem:** 6. 记函数 $f(x) = \sin(\omega x + \frac{\pi}{4}) + b(\omega > 0)$ 的最小正周期为 $T$. 若 $\frac{2}{3}\pi < T < \pi$, 且 $y = f(x)$ 的函数图像关于点 $(\frac{3\pi}{2}, 2)$ 中心对称, 则 $f(\frac{\pi}{2}) = (\quad)$ **Options:** A. 1 B. $\frac{3}{2}$ C. $\frac{5}{2}$ D. 3 **Mathematical Formulas/Chemical Equations:** * Function definition: $f(x) = \sin(\omega x + \frac{\pi}{4}) + b$ * Condition on $\omega$: $\omega > 0$ * Period range: $\frac{2}{3}\pi < T < \pi$ * Symmetry point: $(\frac{3\pi}{2}, 2)$ * Value to find: $f(\frac{\pi}{2})$

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我们来分析函数f(x) = sin(ωx + π/4) + b的基本形式。这个函数包含三个重要参数：ω大于0，它影响函数的周期；π/4是相位偏移，使图像水平移动；b是垂直平移参数。让我们通过图像来理解每个参数的作用。首先是标准正弦函数，然后我们看ω=2时周期变为原来的一半，加入相位偏移π/4后图像左移，最后加上垂直平移b=1，整个图像向上移动一个单位。 现在我们来分析周期条件。三角函数的周期公式是T等于2π除以ω。题目给出周期T的范围是三分之二π小于T小于π。将周期公式代入不等式，得到三分之二π小于2π除以ω小于π。两边同时除以π，得到三分之二小于2除以ω小于1。对不等式取倒数并调整方向，得到三分之二ω小于2小于ω，即2小于ω小于3。我们在数轴上标出这个范围，ω必须在2和3之间的开区间内。 现在我们分析中心对称性质。如果函数关于点(a,c)中心对称，那么对于任意h，都有f(a+h) + f(a-h) = 2c。题目告诉我们函数关于点(3π/2, 2)中心对称，所以有f(3π/2+h) + f(3π/2-h) = 4。将函数表达式代入并利用三角恒等式化简，我们得到2sin(3ωπ/2 + π/4)cos(ωh) + 2b = 4。要使这个等式对所有h都成立，必须有sin(3ωπ/2 + π/4) = 0，同时b = 2。图像显示了中心对称的特点：关于对称中心的对称点到中心的距离相等。 现在我们求解参数ω的具体值。从sin(3ωπ/2 + π/4) = 0出发，正弦函数为零的条件是3ωπ/2 + π/4 = kπ，其中k为整数。解得ω = (4k-1)/6。结合周期范围2 < ω < 3，我们有2 < (4k-1)/6 < 3。通过代数运算得到3.25 < k < 4.75。由于k必须是整数，所以k = 4。代入得到ω = 15/6 = 5/2。我们在数轴上可以看到，只有k = 4这一个整数值落在允许的范围内。 现在进行最终计算验证。我们已经确定ω = 5/2，b = 2，所以函数为f(x) = sin(5x/2 + π/4) + 2。计算f(π/2)，代入得到sin(5π/4 + π/4) + 2，化简为sin(3π/2) + 2。在单位圆中，3π/2对应的点是(0, -1)，所以sin(3π/2) = -1。因此f(π/2) = -1 + 2 = 1。答案是A选项。