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函数变换是数学中的重要概念，通过改变函数的解析式来改变函数图像的形状和位置。主要的变换类型包括平移变换、伸缩变换和翻折变换。今天我们重点学习伸缩变换。对于原函数y等于f(x)，我们可以通过不同的变换得到新的函数图像。
水平伸缩变换的一般形式是y等于f(kx)，其中k是伸缩因子。当k大于1时，图像被水平压缩，周期变为原来的k分之一；当k在0到1之间时，图像被水平拉伸，周期也变为原来的k分之一。我们以正弦函数为例来观察这种变换。首先看到蓝色的原函数y等于sinx，现在我们改变k值来观察变换效果。
垂直伸缩变换的一般形式是y等于A乘以f(x)，其中A是伸缩因子。当A大于1时，图像被垂直拉伸，函数值变为原来的A倍；当A在0到1之间时，图像被垂直压缩，函数值也变为原来的A倍；当A小于0时，图像先关于x轴翻折，再进行伸缩。我们以二次函数y等于x的平方为例来观察这种变换效果。
复合伸缩变换的一般形式是y等于A乘以f(kx)，同时包含水平和垂直两种伸缩。变换的顺序是先进行水平伸缩，再进行垂直伸缩。这两种变换相互独立，A控制垂直方向的伸缩，k控制水平方向的伸缩。我们以y等于sinx变换为y等于2sin(3x)为例，其中A等于2表示垂直拉伸2倍，k等于3表示水平压缩至三分之一。
现在我们通过几个典型例题来巩固伸缩变换的应用。例题1：将y等于x平方先水平压缩至二分之一，再垂直拉伸3倍。水平压缩至二分之一意味着k等于2，垂直拉伸3倍意味着A等于3，所以新函数为y等于3倍的2x的平方，即y等于12x平方。例题2：已知y等于A sin(kx)的周期为π/2，最大值为3，求A和k。由周期公式可得k等于4，最大值为3说明A等于3。例题3：某振动的振幅增大2倍，频率增大3倍，新函数为y等于2sin(3ωt)。