生成这个题目的讲解---**Question 7** **Question Stem:** 设 a = 0.1e^(0.1), b = 1/9, c = -ln 0.9, 则 ( ) **Options:** A. a < b < c B. c < b < a C. c < a < b D. a < c < b

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我们需要比较三个数的大小：a等于0.1乘以e的0.1次方，b等于九分之一，c等于负ln0.9。为了确定它们的大小关系，我们需要分别计算出这三个数的近似值，然后进行比较。 我们从最简单的表达式b开始计算。b等于九分之一，这是一个简单的分数。将其转换为小数形式，九分之一等于零点一一一一，是一个无限循环小数。为了便于比较，我们取其近似值零点一一一一。现在我们将这个值标记在数轴上，作为后续比较的基准点。 现在计算c的值。c等于负ln零点九，我们可以将其写成负ln括号一减零点一。利用对数的泰勒展开式，ln括号一减x约等于负x减x的平方除以二减x的三次方除以三等等。当x等于零点一时，c约等于零点一加零点零零五加零点零零零三等等，计算得c约等于零点一零五四。现在我们将c标记在数轴上，可以看到c的值小于b。 现在计算最复杂的表达式a。a等于零点一乘以e的零点一次方。我们利用指数函数的泰勒展开式：e的x次方等于一加x加x的平方除以二的阶乘加x的三次方除以三的阶乘等等。当x等于零点一时，e的零点一次方约等于一加零点一加零点零零五加零点零零零一六七等等，计算得e的零点一次方约等于一点一零五二。因此a等于零点一乘以一点一零五二，约等于零点一一零五二。现在我们将a标记在数轴上。 现在我们总结计算结果进行比较。通过前面的计算，我们得到：c约等于零点一零五三六，a约等于零点一一零五二，b约等于零点一一一一一。比较这三个数值的大小，我们可以得出：c小于a小于b。因此，正确答案是C选项：c小于a小于b。从数轴上可以清楚地看到三个数的相对位置，验证了我们计算结果的正确性。