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线性代数的符号体系是整个学科的基础。向量可以表示为列向量或行向量，其中列向量是标准形式。矩阵用大写字母表示，下标表示维度。实数空间R的n次方表示所有n维实向量的集合。特殊符号包括转置A的T次方、逆矩阵A的负1次方、单位矩阵I和零向量。这些符号构成了线性代数理论的语言基础，为后续的运算法则和定理提供了统一的表示方法。
矩阵的基础运算法则构成了线性代数计算的核心。矩阵加法按对应元素相加，满足交换律和结合律。数乘运算将标量与矩阵每个元素相乘，满足分配律。矩阵乘法是最重要的运算，定义为行与列的内积，但不满足交换律，这是矩阵运算的重要特性。转置运算有重要性质：两矩阵乘积的转置等于转置矩阵的逆序乘积。这些运算法则为线性代数的所有理论提供了计算基础。
线性代数的核心定理构成了完整的理论框架。行列式具有重要性质：两矩阵乘积的行列式等于各自行列式的乘积，转置不改变行列式值。可逆矩阵定理建立了多个等价条件：矩阵可逆当且仅当行列式非零，当且仅当列向量线性无关，当且仅当矩阵满秩。线性相关性判定通过齐次方程组的解来确定。秩-零化度定理揭示了矩阵的秩与零空间维数之和等于列数，这些定理相互关联，构成线性代数的理论基石。