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权方和是数学中一个重要的概念，它是加权平方平均的推广。对于正数a1到an和对应的权重w1到wn，权方和定义为所有项的加权平方和除以权重总和。这个概念在不等式理论中有着广泛的应用。让我们通过一个简单的例子来理解：当a1等于3，权重w1等于2，a2等于4，权重w2等于1时，权方和等于34除以3。
权方和具有三个重要性质。首先，权方和总是非负的，这是因为平方项都是非负的。其次，当所有变量相等时，权方和等于该变量的平方。第三，权方和具有齐次性，即如果所有变量都乘以常数k，权方和会乘以k的平方。让我们通过动态图表来观察这些性质，看看当参数a和b变化时，权方和如何相应变化。
柯西-施瓦茨不等式是数学中最重要的不等式之一。它的标准形式是：向量内积的平方小于等于各向量长度平方的乘积。这个不等式有加权版本，与权方和密切相关。我们可以通过构造非负二次式来证明它：考虑关于t的二次式，由于它恒非负，判别式必须小于等于零，从而得到不等式。几何上，这表示两个向量的内积不超过它们长度的乘积，等号成立当且仅当两向量共线。