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巴塞尔问题是数学史上一个著名的问题，要求计算所有正整数平方倒数的无穷级数之和。这个问题最初由意大利数学家门戈利在1644年提出，后来在1689年被雅各布·伯努利重新提出并以巴塞尔命名。这个看似简单的级数困扰了数学家们近一个世纪，直到1735年年仅28岁的欧拉给出了一个令人惊叹的证明，结果竟然等于π的平方除以6。通过计算级数的前几项，我们可以看到它确实在逐渐逼近这个神奇的值。
欧拉解决巴塞尔问题的关键在于一个天才的洞察：将正弦函数除以x表示为无穷乘积形式。他的思路来自于多项式理论中根与系数的关系，也就是韦达定理。我们知道，如果一个多项式有已知的根，就可以将其分解为线性因子的乘积。欧拉意识到，正弦函数的根是正负π的整数倍，因此可以类似地将sin(x)表示为无穷乘积。首先我们回顾sin(x)的泰勒展开，然后除以x得到sin(x)/x的级数形式。欧拉的天才之处在于，他同时用两种不同的方法来表示同一个函数：一种是我们熟悉的泰勒级数，另一种是基于函数零点的无穷乘积。
现在我们详细推导如何将sin(x)/x表示为无穷乘积。首先，我们知道sin(x)的零点是0和正负π的整数倍。当我们考虑sin(x)/x时，x=0处的零点被消除了，剩下的零点是正负π、正负2π、正负3π等等。根据韦达定理的思想，我们可以将函数表示为其零点对应的线性因子的乘积。由于零点是成对出现的，我们可以将每一对正负零点合并。例如，零点π和-π对应的因子(1-x/π)和(1+x/π)可以合并为(1-x²/π²)。同样地，零点2π和-2π合并为(1-x²/4π²)，以此类推。最终我们得到sin(x)/x的无穷乘积表示，这是欧拉证明中的关键一步。
现在我们有了sin(x)/x的两种不同表示方法。第一种是我们熟悉的泰勒级数展开，它给出了1减去x²/6加上x⁴/120等等的形式。第二种是我们刚刚推导出的无穷乘积形式。关键的洞察是：既然这两个表达式表示同一个函数，那么它们展开后对应项的系数必须相等。我们特别关注x²项的系数。在泰勒级数中，x²项的系数是负1/6。在无穷乘积中，当我们将所有的括号展开时，x²项的系数将是负的(1/π²加上1/4π²加上1/9π²等等)。通过令这两个系数相等，我们就能建立起关键的等式，从而解决巴塞尔问题。
现在我们进行关键的系数比较。当我们展开无穷乘积时，x²项的系数是负的(1/π²加上1/4π²加上1/9π²等等)，这可以写成负1/π²乘以(1/1²加上1/2²加上1/3²等等)，也就是负1/π²乘以我们要求的无穷级数。而从泰勒级数我们知道，x²项的系数是负1/6。由于这两个表达式表示同一个函数，对应项的系数必须相等。因此我们得到等式：负1/6等于负1/π²乘以无穷级数的和。解这个等式，我们得到无穷级数的和等于π²/6。这就是巴塞尔问题的答案！欧拉通过这个巧妙的方法，将一个看似与π无关的级数与π²联系起来，展现了数学的深刻美妙。