Un teorema es una proposición matemática que puede ser demostrada como verdadera a partir de axiomas y otros teoremas previamente establecidos. Los teoremas son fundamentales en matemáticas porque proporcionan verdades universales que podemos aplicar para resolver problemas y construir nuevo conocimiento. Un ejemplo clásico es el Teorema de Pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.
Todo teorema tiene tres componentes esenciales. Primero, la hipótesis, que son las condiciones o suposiciones iniciales que deben cumplirse. Segundo, la tesis, que es la conclusión o afirmación que se quiere demostrar. Y tercero, la demostración, que es el razonamiento lógico que conecta la hipótesis con la tesis usando axiomas y teoremas conocidos. Por ejemplo, en el Teorema de Pitágoras, la hipótesis es que tenemos un triángulo rectángulo, la tesis es que a cuadrado más b cuadrado igual c cuadrado, y la demostración es el proceso lógico que prueba esta relación.
Ahora demostraremos el Teorema de Pitágoras paso a paso. Comenzamos con un triángulo rectángulo ABC. Construimos cuadrados sobre cada lado del triángulo. El área del cuadrado sobre el lado a es a cuadrado, el área del cuadrado sobre el lado b es b cuadrado, y el área del cuadrado sobre la hipotenusa c es c cuadrado. Por construcción geométrica y propiedades de áreas, podemos demostrar que a cuadrado más b cuadrado es igual a c cuadrado. Así queda demostrado el teorema.
Veamos algunas aplicaciones prácticas del Teorema de Pitágoras. En el primer problema, necesitamos calcular la diagonal de un rectángulo de 3 metros por 4 metros. Aplicando el teorema, d cuadrado igual 3 cuadrado más 4 cuadrado, igual 9 más 16, igual 25. Por lo tanto, d igual 5 metros. En el segundo problema, una escalera de 5 metros se apoya contra una pared, con la base a 3 metros de distancia. Para encontrar la altura, usamos h cuadrado igual 5 cuadrado menos 3 cuadrado, igual 25 menos 9, igual 16. Por lo tanto, h igual 4 metros.
Existen muchos otros teoremas importantes en matemáticas. El Teorema del Valor Medio establece que si una función es continua en un intervalo cerrado y derivable en el intervalo abierto, entonces existe un punto donde la derivada es igual a la pendiente promedio de la función. El Teorema Fundamental del Cálculo conecta la derivación con la integración, estableciendo que la integral definida de una función puede calcularse usando su antiderivada. Estos teoremas son pilares fundamentales del cálculo diferencial e integral y tienen aplicaciones extensas en ciencias e ingeniería.