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极限是微积分中最基础也是最重要的概念之一。它描述了函数在某点附近的变化趋势。当我们说x趋向于2时，x的平方的极限等于4，意思是当x无限接近2时，函数值x的平方会无限接近4。让我们通过动画来观察这个过程。
在直观理解的基础上，我们需要给出极限的严格数学定义，这就是著名的ε-δ定义。这个定义说：对于任意给定的精度ε，我们总能找到一个范围δ，使得当x在这个范围内时，函数值f(x)就在L的ε邻域内。让我们通过图形来理解这个定义。
有时候函数在某点的左极限和右极限可能不相等，这就引出了单侧极限的概念。左极限是指x从左侧趋向a时的极限值，右极限是指x从右侧趋向a时的极限值。只有当左极限等于右极限时，双侧极限才存在。让我们通过一个跳跃间断点的例子来观察这种情况。
掌握了极限的定义后，我们需要学习如何计算极限。极限有四个基本运算法则：和差法则、乘积法则、商法则，以及复合函数法则。让我们通过一个具体例子来演示这些法则的应用。计算x趋向2时，x的平方加3x的极限。
在极限理论中，有两个非常重要的极限公式。第一个是当x趋向0时，sinx除以x的极限等于1，这可以通过单位圆的几何关系来理解。第二个是当x趋向无穷时，1加1除以x的x次方的极限等于自然常数e，这个极限与复利计算密切相关。这两个重要极限是解决复杂极限问题的重要工具。