Navier-Stokes方程是流体力学中最重要的基本方程组，由连续性方程和动量方程组成。连续性方程∇·u等于零表示不可压缩流体的质量守恒，而动量方程则描述了流体在各种力作用下的运动规律。这些方程完整地描述了粘性流体的运动特性，是现代流体力学和计算流体动力学的理论基础。
The continuity equation comes from mass conservation law. For general fluids, mass conservation is expressed as the partial derivative of density with respect to time plus the divergence of density times velocity equals zero. When we consider incompressible fluids, density is constant, and the equation simplifies to the divergence of velocity field equals zero. The physical meaning of this equation is that the mass flow rate into any fluid element must equal the mass flow rate out, ensuring fluid continuity and mass conservation.
动量方程左侧的惯性项ρ乘以Du/Dt表示流体的惯性力。这里的Du/Dt是拉格朗日导数，包含两个重要部分：局部加速度项∂u/∂t描述流场中固定点的速度随时间的变化，而对流加速度项(u·∇)u描述流体粒子沿着流线运动时的加速度。密度ρ的作用是将加速度转换为单位体积的惯性力。这两种加速度的叠加完整描述了流体粒子的总加速度。
压力梯度项负∇p描述了压力对流体运动的驱动作用。压力梯度∇p表示压力在空间中的变化率，包含x、y、z三个方向的偏导数。负号具有重要的物理意义，它表明流体总是从高压区域向低压区域流动。压力梯度力的方向与压力梯度方向相反，指向压力降低的方向。当存在压力差时，流体会在压力梯度力的作用下产生加速度，这是流体运动的重要驱动机制。
纳维-斯托克斯方程是流体力学的核心方程组，描述了粘性不可压缩流体的运动规律。第一个方程是连续性方程，表示流体的质量守恒；第二个方程是动量方程，描述了流体运动的动力学规律。这个方程组在航空航天、气象学、海洋学等领域有广泛应用。
连续性方程∇·u=0表示流体的质量守恒定律。散度算子∇·u描述了速度场的发散程度，等于各方向速度分量的偏导数之和。当散度为零时，意味着流入控制体的流体质量等于流出的质量，这是不可压缩流体的基本特征。
对流项ρDu/Dt描述了流体微团的惯性力。物质导数Du/Dt包含两部分：局地加速度∂u/∂t反映固定点处速度随时间的变化，对流加速度(u·∇)u反映流体微团沿流线运动时的加速度。这一项体现了流体运动的非线性特征，是纳维-斯托克斯方程复杂性的主要来源。
压力梯度项-∇p描述了压力分布不均匀对流体运动的驱动作用。压力梯度是压力场的空间变化率，其方向指向压力增加最快的方向。但在动量方程中，压力梯度项前有负号，表示流体受到的压力梯度力方向与压力梯度相反，即从高压指向低压，这正是我们观察到的流体流动规律。
粘性力项μ∇²u描述了流体内部的摩擦力效应。拉普拉斯算子∇²u表示速度场的二阶空间导数，反映速度场的曲率变化。动力粘度μ是流体的物性参数，表征流体内部摩擦阻力的大小。当流体中存在速度梯度时，相邻流体层之间会产生剪切应力，这就是粘性力的来源。粘性力具有扩散效应，使速度场趋于均匀，同时起到阻尼作用，消耗流体的动能。在边界层流动中，粘性力的作用尤为明显。