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导数是微积分中的核心概念，它描述了函数在某一点的瞬时变化率。我们可以通过位移-时间图像来理解这个概念。图中的蓝色曲线表示物体的位移随时间的变化。
红色直线是连接两点的割线，它的斜率表示平均变化率。当我们让时间间隔越来越小时，割线会逐渐逼近切线，这个过程就是求导数的本质。
当时间间隔趋近于零时，割线的极限位置就是切线，用黄色线表示。切线的斜率就是函数在该点的导数值，它表示函数在该点的瞬时变化率。这就是导数的几何意义。
现在我们给出导数的严格数学定义。函数f(x)在点x₀处的导数，定义为当h趋近于0时，差商f(x₀+h)减去f(x₀)除以h的极限值。
让我们通过具体的函数图像来理解这个定义。图中显示了函数f(x)，红色的两个点分别是x₀和x₀+h处的函数值，红色直线是连接这两点的割线。
现在观察当h逐渐减小时会发生什么。割线的斜率就是差商的值，随着h趋近于0，割线逐渐逼近切线，差商的值趋近于导数值。这个极限过程就是导数定义的核心。
现在我们从单点导数扩展到整个函数的导数概念。如果函数f(x)在某个区间内的每一点都存在导数，那么这些导数值就构成了一个新的函数，称为f(x)的导函数，记作f'(x)。
让我们通过一个具体例子来理解导函数。考虑函数f(x)等于x的平方，蓝色曲线表示原函数。通过计算可以得出它的导函数f'(x)等于2x，用红色直线表示。
现在观察原函数上不同点处的切线斜率如何变化。绿色点在原函数上移动时，黄色切线的斜率在不断变化。同时，绿色点在导函数图像上的对应位置，其y坐标正好等于原函数在该点的切线斜率。这就是导函数的几何意义。
掌握基本函数的导数公式是学习微积分的基础。常数的导数为零，幂函数x的n次方的导数是n乘以x的n减1次方，指数函数e的x次方的导数是它本身。
对数函数ln x的导数是1除以x，正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是负的正弦函数。这些公式在实际计算中经常用到。
让我们通过具体例子来理解幂函数的导数公式。对于f(x)等于x的平方，根据公式，它的导数f'(x)等于2x。在x等于1.5的点处，导数值为3，这正是该点切线的斜率。
导数的运算法则是求导的重要工具。和差法则说明两个函数和或差的导数等于各自导数的和或差。乘积法则告诉我们两个函数乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
商法则用于求两个函数商的导数，链式法则用于求复合函数的导数。现在让我们通过具体例题来演示这些法则的应用。
对于函数f(x)等于括号x平方加3x乘以正弦x，我们使用乘积法则。设u等于x平方加3x，v等于正弦x，则u的导数等于2x加3，v的导数等于余弦x。根据乘积法则，f的导数等于u的导数乘以v加上u乘以v的导数。
再看一个链式法则的例子。对于g(x)等于ln括号x平方加1，这是一个复合函数。外层函数是ln，内层函数是x平方加1。根据链式法则，g的导数等于外层函数的导数乘以内层函数的导数，最终结果是2x除以x平方加1。