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我们来分析函数f(x) = 5cosx - cos5x。首先观察函数的基本性质。由于cosx和cos5x的最小公倍数周期是2π，所以f(x)的周期为2π。通过计算f(-x)，我们发现f(-x) = f(x)，说明这是一个偶函数，图像关于y轴对称。从右侧的函数图像可以看出，函数在一个周期内呈现出复杂的振荡模式，这为我们后续的分析提供了直观的理解。
现在我们来求解第一问：f(x)在区间[0, π/4]上的最大值。首先对函数求导，得到f'(x) = -5sinx + 5sin5x = 5(sin5x - sinx)。令导数为零，得到sin5x = sinx，解得关键点x = 0和x = π/6。接下来计算这些关键点以及端点处的函数值：f(0) = 4，f(π/6) = 3√3，f(π/4) = 3√2。比较这些值，我们发现最大值为4，在x = 0处取得。从右侧的图像可以清楚地看到，红色圆圈标出的点(0, 4)确实是区间内的最高点。
现在我们分析第二问的证明思路。题目要求证明：给定θ属于(0,π)，对任意实数a，都存在y属于区间[a-θ, a+θ]，使得cosy小于等于cosθ。这个问题的几何意义是：在长度为2θ的任意区间内，总能找到一点使得其余弦值不超过cosθ。我们需要分两种情况讨论：当2θ大于等于π时，区间长度足够大，必然包含余弦函数的最小值点，结论显然成立；当2θ小于π时，需要更仔细的分析。从右侧的余弦函数图像可以看出，红色线段表示长度为2θ的区间，绿色水平线表示cosθ的值，我们需要证明红色区间内总有点在绿色线下方。
现在给出第二问的完整证明。我们分两种情况讨论。情况1：当2θ大于等于π时，区间[a-θ, a+θ]的长度大于等于π。在任何长度为π的区间内，余弦函数必定能取到最小值-1，因此显然存在y使得cosy等于-1小于等于cosθ。情况2：当2θ小于π时，我们考虑函数g(t)等于cos(t-θ)和cos(t+θ)的最小值。由于g(t)是连续函数且具有周期性，当t变化一个周期2π时，cos(t-θ)和cos(t+θ)都经历完整的余弦周期，因此g(t)必定能取到余弦函数的最小值。从右侧图像可以看出，红色线段表示长度为π的区间，绿色线段表示长度为π/2的区间，黄色水平线表示余弦函数的最小值-1。无论哪种情况，命题都成立。
现在我们求解第三问：若存在φ使得对任意x都有5cosx - cos(5x+φ) ≤ b，求b的最小值。首先展开cos(5x+φ) = cos5x·cosφ - sin5x·sinφ，将目标函数重写为g(x,φ) = 5cosx - cos5x·cosφ + sin5x·sinφ。要使不等式对所有x成立，需要g(x,φ)的最大值小于等于b。关键观察是当cosφ = 1，sinφ = 0时，即φ = 0时，g(x,0) = 5cosx - cos5x = f(x)。由第一问我们知道f(x)的最大值为4，因此b的最小值为4。从右侧图像可以看出，蓝色曲线表示φ = 0的情况，绿色和橙色曲线表示其他φ值的情况，红色水平线表示b = 4。可以看到当φ = 0时，函数达到最大值4，这验证了我们的结论。