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椭圆是平面上一个重要的几何图形。它的定义是：平面上到两个定点F₁和F₂距离之和为常数的点的轨迹。这两个定点叫做椭圆的焦点。椭圆的标准方程是x²/a²+y²/b²=1，其中a是长半轴长，b是短半轴长，c是焦半距。它们之间满足关系c²=a²-b²。椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于2a。
现在我们从椭圆的定义出发，推导椭圆的标准方程。首先建立坐标系，以两焦点连线为x轴，中点为原点。设椭圆上任意点P的坐标为(x,y)，两焦点分别为F₁(-c,0)和F₂(c,0)。根据椭圆定义，点P到两焦点的距离之和等于常数2a。利用距离公式，我们得到根号下(x+c)²+y²加上根号下(x-c)²+y²等于2a。经过复杂的代数化简，最终得到椭圆的标准方程：x²/a²+y²/b²=1，其中b²=a²-c²。
现在我们通过一个具体例题来学习椭圆参数的计算方法。给定椭圆方程x²/25+y²/9=1。首先识别参数：a²=25，所以a=5；b²=9，所以b=3。利用关系式c²=a²-b²，得到c²=25-9=16，因此c=4。椭圆的焦点坐标为F₁(-4,0)和F₂(4,0)。离心率e=c/a=4/5=0.8。椭圆的四个顶点坐标分别为(±5,0)和(0,±3)。通过这些计算，我们完全确定了椭圆的几何性质。
椭圆的焦点弦是椭圆的重要性质之一。焦点弦是指过椭圆焦点的弦。对于焦点弦AB，其长度可以用公式|AB|=2ab²/(a²-c²cos²θ)来计算，其中θ是弦的倾斜角。椭圆上任意一点P到两焦点的距离称为焦半径，有重要公式：|PF₁|=a+ex₀，|PF₂|=a-ex₀，其中e是离心率，x₀是点P的横坐标。焦点弦还有一个重要性质：1/|PF₁|+1/|PF₂|=2a/b²。这些公式在解决椭圆问题时非常有用。
现在我们通过一道综合性例题来应用椭圆的各种性质。题目：椭圆过点A(2,1)，焦点为F₁(-√3,0)和F₂(√3,0)，求椭圆方程及焦点弦长公式。首先确定椭圆方程：由焦点坐标知c=√3。利用椭圆定义，计算|AF₁|和|AF₂|的距离，得到2a=4，所以a=2。由关系式b²=a²-c²=4-3=1，得到椭圆方程为x²/4+y²=1。对于焦点弦长计算，设过F₁的弦倾斜角为θ，则弦长公式为|AB|=8/(4-3cos²θ)。这个综合例题展示了椭圆方程确定和焦点弦性质的应用。