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函数极限是数学分析中的核心概念。当我们说x趋近于a时f(x)的极限是L，意思是当x无限接近a时，函数值f(x)会无限接近L。这里的关键是'接近'而不是'等于'。极限描述的是函数在某点附近的变化趋势，即使函数在该点可能没有定义。通过这个动画可以看到，当x从左侧和右侧都趋近于a时，对应的函数值都趋近于同一个值L，这就是函数极限的直观含义。
函数的连续性是极限概念的重要应用。一个函数在某点连续需要满足三个条件：首先函数在该点必须有定义，其次函数在该点的极限必须存在，最后极限值必须等于函数值。当这些条件不满足时，就会出现不连续。图中展示了几种典型的不连续类型：可去不连续是指函数在某点的极限存在但与函数值不等，或者函数在该点无定义；跳跃不连续是指函数的左极限和右极限都存在但不相等；无穷不连续是指函数在某点附近趋向无穷大。极限概念帮助我们精确描述和分类这些不连续现象。
导数的定义完全建立在极限概念之上。导数f'(x)定义为当h趋近于0时，函数增量与自变量增量比值的极限。从几何角度看，这个极限过程描述了割线逐渐趋近于切线的过程。当我们取曲线上两点连成割线时，随着第二个点越来越接近第一个点，割线的斜率就越来越接近该点处切线的斜率。这个切线斜率就是函数在该点的导数值。从物理角度看，导数表示瞬时变化率，比如瞬时速度就是位移对时间的导数。没有极限概念，我们就无法精确定义这种瞬时的变化率。
定积分的定义同样建立在极限概念之上。定积分表示为黎曼和的极限，即当分割数n趋向无穷时，所有小矩形面积之和的极限。图中展示了这个过程：我们将区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的宽度是Δx，然后用矩形来近似每一小段曲线下的面积。当分割越来越细，即n越来越大时，这些矩形的总面积就越来越接近曲线下的真实面积。这个极限过程将离散的求和转化为连续的积分，体现了极限在从有限到无限转换中的关键作用。没有极限概念，我们就无法严格定义曲线下的面积。
函数极限在实际问题中有广泛应用。首先是瞬时速度的计算，物体的瞬时速度定义为位移对时间的导数，本质上是一个极限过程。其次是函数的渐近行为分析，比如当x趋向无穷时，函数的极限值告诉我们函数的长期行为趋势。第三是无穷级数的收敛性判断，通过计算部分和的极限来确定级数是否收敛。这些例子都体现了极限概念的核心价值：它帮助我们处理'无限接近但永远达不到'的数学情况，将直觉上模糊的概念转化为精确的数学表述。