已知：a + b = 6 求√(a² + 9) + √(b² + 25)的最小值。---**Question Extraction:** **Question Stem:** Given: a + b = 6 Find the minimum value of √(a² + 9) + √(b² + 25). **Other Relevant Text:** Annotation next to the given condition: 从已知入手 (Start from the given)

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我们来分析这个优化问题。已知条件是a加b等于6，要求√(a²+9)加√(b²+25)的最小值。观察目标函数的结构，√(a²+9)可以写成√(a²+3²)，√(b²+25)可以写成√(b²+5²)，这提示我们可以将问题转化为几何距离问题来求解。 现在我们建立几何模型。√(a²+9)可以理解为点(a,0)到点(0,3)的距离，√(b²+25)可以理解为点(b,0)到点(0,5)的距离。结合约束条件a+b=6，问题转化为：在直线a+b=6上找两点，使得它们到定点(0,3)和(0,5)的距离之和最小。 我们使用对称反射法来解决这个问题。将点(0,3)关于直线x+y=6进行反射，得到反射点。根据反射的性质，原点到直线上任意一点再到(0,3)的距离，等于该点到反射点的距离。因此，问题转化为求反射点到(0,5)的直线距离，这就是最小值。 现在我们具体计算反射点的坐标。设反射点为(x',y')，根据反射的性质，原点(0,3)与反射点的中点必须在直线x+y=6上，且连线垂直于该直线。通过中点条件得到x'+y'=9，通过垂直条件得到y'-3=x'，联立求解得到反射点坐标为(3,6)。 现在计算最小值。反射点(3,6)到点(0,5)的距离为√((3-0)²+(6-5)²)=√(9+1)=√10。这就是原问题的最小值。当a=1.5，b=4.5时取得最小值，验证a+b=6成立。因此，√(a²+9)+√(b²+25)的最小值为√10。