生成这个题目的讲解---**Question 17** **Points:** 12 分 **Question Stem:** Let S_n be the sum of the first n terms of the sequence {a_n}. Given: 2S_n / n + n = 2a_n + 1. **(1) Prove:** {a_n} is an arithmetic sequence; **(2) If:** a_4, a_7, a_9 form a geometric sequence, find the minimum value of S_n.

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我们来分析这道关于数列的题目。已知条件是2S_n除以n加上n等于2a_n加1，其中S_n表示数列a_n的前n项和。题目要求我们首先证明数列a_n是等差数列，然后在a_4、a_7、a_9构成等比数列的条件下，求出S_n的最小值。 现在我们来证明数列a_n是等差数列。从已知条件出发，将等式两边同时乘以n，得到2S_n加n的平方等于2na_n加n。整理后得到S_n的表达式。接下来写出S_{n+1}的类似表达式，利用S_{n+1}减去S_n等于a_{n+1}的关系，经过代数运算可以证明a_{n+1}减a_n为常数，这正是等差数列的定义。 既然已经证明了数列a_n是等差数列，我们现在设首项为a_1，公差为d，那么通项公式就是a_n等于a_1加上n减1倍的d。我们可以用等差数列的前n项和公式来验证原条件的一致性。将S_n的公式代入原条件，可以确认我们的推导是正确的。 现在利用a_4、a_7、a_9构成等比数列的条件。根据等比数列的性质，中间项的平方等于首末两项的乘积，即a_7的平方等于a_4乘以a_9。将等差数列的通项公式代入，得到关于a_1和d的方程。展开并化简后，得到d乘以a_1加12d等于0，因此d等于0或者a_1等于负12d。 现在求S_n的最小值。当d等于0时，数列为常数列，S_n等于na_1。当a_1等于负12d时，通过等差数列前n项和公式，得到S_n等于nd乘以n减25除以2。这是一个关于n的二次函数，当d大于0时，开口向上，对称轴在n等于12.5处。由于n必须是正整数，所以最小值在n等于12或n等于13处取得，此时S_n的最小值为负78d。