生成这个题目的讲解---**Question 9** **Points:** 5 分 **Question Stem:** 已知正方体 ABCD - A₁B₁C₁D₁，则 ( ) **(Translation: Given a cube ABCD - A₁B₁C₁D₁, then ( ))** **Options:** A. 直线 BC₁ 与 DA₁ 所成的角为 90° **(Translation: The angle between line BC₁ and line DA₁ is 90°)** B. 直线 BC₁ 与 CA₁ 所成的角为 90° **(Translation: The angle between line BC₁ and line CA₁ is 90°)** C. 直线 BC₁ 与平面 BB₁D₁D 所成的角为 45° **(Translation: The angle between line BC₁ and plane BB₁D₁D is 45°)** D. 直线 BC₁ 与平面 ABCD 所成的角为 45° **(Translation: The angle between line BC₁ and plane ABCD is 45°)**

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我们来分析正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的基本结构。正方体有8个顶点、12条边和6个面，所有边长相等，相邻面互相垂直。为了便于计算角度，我们建立坐标系，设A为原点，B、D、A₁分别沿x、y、z轴正方向。这样各顶点坐标就确定了。 异面直线是指不在同一平面内的两条直线。要计算异面直线的夹角，我们通过空间任意一点作两条异面直线的平行线，这两条平行线所成的锐角或直角就是异面直线所成的角。在实际计算中，我们使用向量法，通过两直线的方向向量来计算夹角。 现在验证选项A和B。对于选项A，直线BC₁的方向向量是(0,1,1)，直线DA₁的方向向量是(0,-1,1)。使用夹角公式计算，余弦值不为0，所以夹角不是90度。对于选项B，直线BC₁与CA₁的计算结果也显示夹角不是90度。因此选项A和B都不正确。 直线与平面所成的角是指直线与其在平面上的投影所成的锐角，这也是直线与平面的最小夹角。在计算时，我们使用直线的方向向量和平面的法向量，通过正弦函数来计算夹角。这个公式与异面直线夹角公式不同，这里用的是正弦而不是余弦。 现在验证选项C和D。对于选项C，BC₁与平面BB₁D₁D的夹角，平面BB₁D₁D的法向量是(1,0,0)，计算得到正弦值为0，说明直线与平面平行，夹角为0度而不是45度。对于选项D，BC₁与平面ABCD的夹角，平面ABCD的法向量是(0,0,1)，计算得到正弦值为根号2除以2，正好等于sin45度。因此答案是D。