Calculus is the branch of mathematics that studies change and accumulation. It has two main parts: differential calculus, which deals with rates of change like the slope of a curve, and integral calculus, which deals with accumulation like the area under a curve. We see calculus everywhere - in the speed of a moving car, the volume of water filling a container, and in countless other real-world situations.
微分在许多领域都有强大的应用。在物理学中，我们用导数从位置求出速度，从速度求出加速度。在经济学中，导数帮助找到边际成本并优化利润。在医学中，它们跟踪药物浓度随时间的变化。在工程学中，导数解决优化问题，如寻找最大效率或最少材料使用。
积分在解决累积和面积问题方面有广泛应用。在物理学中，我们用积分计算力做的功和物体的质心。在概率论中，积分帮助我们使用概率密度函数计算概率。在经济学中，积分用于计算消费者和生产者剩余。在工程学中，积分计算不规则形状的体积和分析流体流动。
微积分在现代技术中发挥着关键作用。在计算机图形学中，贝塞尔曲线使用微积分创建平滑的3D模型曲线和曲面。机器学习依靠梯度下降算法，使用导数来优化损失函数。信号处理中的傅里叶变换使用积分将复杂波形分解为简单组件。GPS导航系统使用微积分计算最短路径和优化路线。
微积分基本定理是连接微分和积分的桥梁。它表明，如果我们对一个函数进行积分，然后对结果求导，就会得到原来的函数。这个定理统一了微积分的两个主要分支，显示了它们是互逆的运算。例如，如果我们积分速度函数得到位置，那么对位置函数求导就能恢复原来的速度函数。