生成这个题目的讲解---**Question 3** **Points:** 5分 **Question Stem:** 在△ABC 中，点 D 在边 AB 上，BD=2DA. 记 $\vec{CA}=\vec{\pi}$，$\vec{CD}=\vec{n}$，则 $\vec{CB}=$ ( ) **Translation:** In triangle ABC, point D is on side AB, and BD = 2DA. Given $\vec{CA}=\vec{\pi}$ and $\vec{CD}=\vec{n}$, then $\vec{CB}=$ ( ) **Options:** A. $3\vec{\pi} - 2\vec{n}$ B. $-2\vec{\pi} + 3\vec{n}$ C. $3\vec{\pi} + 2\vec{n}$ D. $2\vec{\pi} + 3\vec{n}$

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我们来分析这道向量题。在三角形ABC中，点D在边AB上，且满足BD等于2倍的DA。题目给出向量CA等于π，向量CD等于n，要求向量CB。首先我们画出几何图形，标出各点位置和向量关系。 现在我们分析向量关系。条件BD等于2DA告诉我们，点D将线段AB按照1比2的比例分割。这意味着AD与DB的长度比是1比2，因此AD与整个AB的比是1比3，而DB与AB的比是2比3。这个比例关系是解决问题的关键。 现在我们建立向量分解策略。要求向量CB，我们可以利用向量加法的三角形法则，将CB分解为CD加上DB。这样我们就把未知向量CB用已知向量CD和待求向量DB表示出来。接下来需要用已知条件来表示DB向量。 现在进行具体的向量计算。首先建立等式CB等于CD加DB，然后利用比例关系DB等于三分之二倍的AB。由于AB等于CB减去CA，代入已知条件后得到一个关于CB的方程。通过移项整理，最终得到CB等于3倍的n减去2倍的π，这就是答案。 通过计算我们得到最终答案：向量CB等于负2倍π加上3倍n，这对应选项B。让我们回顾解题的关键步骤：首先理解几何条件，然后建立向量分解关系，利用比例关系处理，最后代入已知条件求解。这类向量问题的通用方法是利用向量的线性组合结合几何比例关系。