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正七边形是一个具有七条相等边长和七个相等内角的规则多边形。每个内角约为128.57度，中心角为51.43度。我们用字母O表示中心点，各顶点标记为A1到A7，边长用a表示。
要计算正七边形的面积，我们采用分解的方法。从中心点向各个顶点连线，将正七边形分解为七个全等的等腰三角形。每个三角形的顶角为360度除以7，约51.43度，底边长度等于正七边形的边长a。总面积等于七个三角形面积之和。
现在我们重点分析其中一个等腰三角形。设外接圆半径为R，边心距为r，边长为a。根据几何关系，边心距r等于R乘以余弦π/7，边长a等于2R乘以正弦π/7。单个三角形面积等于二分之一乘以底边a乘以高r，最终可以表示为a的平方除以4倍正切π/7。
现在推导正七边形的完整面积公式。总面积等于七个三角形面积之和，即7倍单个三角形面积。将单个三角形面积公式代入，得到S等于7a平方除以4倍正切π/7。由于正切π/7约等于0.4816，所以面积公式可以简化为S约等于3.634倍a平方。
让我们通过一个具体例题来演示公式的应用。计算边长为6厘米的正七边形面积。将a等于6代入公式，得到S等于7乘以36除以4倍正切π/7。计算得tan(π/7)约为0.4816，所以S等于252除以1.9264，约等于130.82平方厘米。用简化公式验证：3.634乘以36也约等于130.82平方厘米，结果一致。