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勾股定律是几何学中最重要的定理之一。它描述了直角三角形中三边的数量关系：两直角边的平方和等于斜边的平方，用数学公式表示为a²+b²=c²。这里a和b是直角边，c是斜边。
现在用几何方法证明勾股定律。以直角三角形的三边为边长分别作三个正方形。红色正方形面积为a²，绿色正方形面积为b²，黄色正方形面积为c²。通过几何关系可以证明，斜边上的正方形面积等于两直角边上正方形面积之和，即c²等于a²加b²。
用拼图法验证勾股定律。四个相同的直角三角形拼成边长为a加b的大正方形。大正方形面积是括号a加b的平方，减去四个三角形面积2ab，等于中间小正方形面积c²。展开大正方形面积公式，得到a²加2ab加b²减2ab等于c²，化简后得到a²加b²等于c²。
通过具体数值验证勾股定律。最著名的勾股数是3、4、5：3的平方加4的平方等于9加16等于25，正好等于5的平方。其他经典勾股数还有5、12、13和8、15、17。这些整数组合完美满足勾股定律，证明了定律的普遍适用性。
勾股定律在实际生活中有广泛应用。在建筑工程中用于检验直角，在导航中计算距离，在安全作业中确定梯子角度。例如梯子问题：已知梯子长5米，底端距墙3米，利用勾股定律可求出梯子顶端高度为4米。这展示了数学定理的实用价值。