解答这道题---**Question Stem:** 13. I = ∫_{π/6}^{π/4} ln(sin x) dx, J = ∫_{π/6}^{π/4} ln x dx, K = ∫_{π/6}^{π/4} ln(tan x) dx. 比较 I, J, K 大小关系 (Compare the relationship of I, J, K in terms of size): **Options:** A. I < J < K B. I < K < J C. K < J < I D. J < K < I

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我们需要比较三个积分的大小关系。I是ln(sin x)在π/6到π/4上的积分，J是ln x的积分，K是ln(tan x)的积分。积分区间是从π/6到π/4，这是一个很小的区间。要比较这些积分的大小，我们需要分析被积函数在这个区间上的性质。 现在分析三个函数在积分区间上的性质。在π/6处，sin x等于1/2，tan x等于1/√3，而x等于π/6。在π/4处，sin x等于√2/2，tan x等于1，x等于π/4。由于这些值都小于1，它们的对数都是负数。从图像可以看出，ln(tan x)的值最小，ln x居中，ln(sin x)最大。 现在建立关键的不等式关系。在积分区间π/6到π/4上，我们有tan x小于x小于sin x。由于这些值都在0到1之间，根据对数函数的单调性，取对数后不等号方向不变，得到ln(tan x)小于ln x小于ln(sin x)。这个不等式关系是比较积分大小的关键。 现在应用积分的单调性定理。该定理说明，如果函数f(x)小于等于g(x)在区间[a,b]上成立，那么f(x)的积分也小于等于g(x)的积分。由于我们已经证明了ln(tan x)小于ln x小于ln(sin x)，根据积分单调性，可以得出K小于J小于I。从面积图可以直观看出这个关系。 通过数值验证我们的理论分析。在π/6处，ln(1/√3)约等于负0.55，ln(π/6)约等于负0.65，ln(1/2)约等于负0.69。在π/4处，ln(1)等于0，ln(π/4)约等于负0.24，ln(√2/2)约等于负0.35。这些数值证实了我们的分析。因此最终结论是K小于J小于I，对应的积分大小关系为I大于J大于K。