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高斯曲率是描述曲面弯曲程度的重要数学概念。不同类型的曲面具有不同的弯曲特性：平面完全平坦无弯曲，球面在各个方向都均匀弯曲，马鞍面在不同方向的弯曲程度不同，而圆柱面只在一个方向弯曲。为了精确描述这些弯曲特性，我们需要引入高斯曲率的数学定义。
主曲率是理解高斯曲率的关键概念。在曲面上任意一点，我们可以作无数个通过该点法向量的平面，这些平面与曲面的交线称为法截面。每个法截面都有自己的曲率值。在所有这些曲率中，最大值称为最大主曲率κ₁，最小值称为最小主曲率κ₂。这两个主曲率的方向总是互相垂直的。
高斯曲率的数学定义是两个主曲率的乘积，即K等于κ₁乘以κ₂。根据高斯曲率的符号，我们可以将曲面上的点分为三类：当K大于0时，称为椭圆点，如球面上的点；当K小于0时，称为双曲点，如马鞍面上的点；当K等于0时，称为抛物点，如圆柱面上的点。这种分类反映了曲面在该点附近的局部几何性质。
高斯曲率的几何意义在于描述曲面偏离其切平面的程度。当高斯曲率大于零时，曲面呈现碗状弯曲，向同一侧偏离切平面；当高斯曲率小于零时，曲面呈现马鞍状弯曲，在不同方向上向切平面的不同侧弯曲；当高斯曲率等于零时，曲面呈现柱状或平坦形状，至少在一个方向上没有弯曲。这种几何解释帮助我们直观理解曲面的局部形状特征。
让我们通过具体实例来理解高斯曲率的计算。对于半径为R的球面，所有点的两个主曲率都等于1/R，因此高斯曲率K等于1/R²，这是一个正值。对于马鞍面z=xy，高斯曲率的计算更复杂，结果是K等于负1除以(1+x²+y²)²，这是一个负值。这些计算实例展示了不同曲面的高斯曲率特征，帮助我们理解理论与实际的联系。