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薛定谔方程是量子力学的基本方程，描述了量子系统随时间的演化规律。这个方程由奥地利物理学家薛定谔在1926年提出，标志着物理学从经典理论向量子理论的重要转变。薛定谔方程不仅是理论物理的基石，也是现代科技发展的重要基础。
波函数是量子力学中描述粒子量子态的数学函数。它是一个复数函数，包含了粒子的全部信息。波函数本身没有直接的物理意义，但其模长的平方表示粒子在某个位置出现的概率密度。这就是波函数的概率解释，是量子力学的核心概念之一。
薛定谔方程的推导从经典力学的哈密顿量开始。首先，我们有经典的动能加势能表达式。然后引入德布罗意的波粒二象性关系，将动量与波数联系起来。接下来进行算符化，将动量算符定义为微分算符。由此得到哈密顿算符，最后结合能量守恒原理，推导出著名的薛定谔方程。
一维无限深势阱是量子力学中的经典例子。在势阱内部势能为零，在边界处势能为无穷大。通过求解薛定谔方程并应用边界条件，我们得到驻波解。波函数必须在边界处为零，这导致了量子化的能级。不同的量子数对应不同的驻波模式和能量值。
量子隧穿效应是量子力学的独特现象。当粒子遇到势垒时，即使粒子能量小于势垒高度，在经典物理学中无法穿越，但在量子力学中仍有一定概率穿透势垒。这种现象通过求解薛定谔方程可以得到解释，透射系数描述了隧穿的概率大小。