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在微积分中，我们经常遇到复合函数的求导问题。复合函数是指一个函数套在另一个函数里面，比如F(x)等于f(g(x))。当我们要对这样的复合函数求导时，直接使用基本求导法则会变得非常复杂。这就需要我们掌握链式法则，它告诉我们复合函数的导数等于外函数的导数乘以内函数的导数。
在证明链式法则之前，我们需要回顾导数的定义。导数f'(x)定义为当h趋于0时，f(x+h)减去f(x)再除以h的极限。从几何角度看，导数表示函数图像上某点处切线的斜率。当h逐渐减小时，连接两点的割线会逐渐趋近于切线，这就是导数定义的几何意义。
现在我们开始推导复合函数的导数。设F(x)等于f(g(x))，根据导数定义，F'(x)等于当h趋于0时，F(x+h)减去F(x)除以h的极限。将复合函数代入得到f(g(x+h))减去f(g(x))除以h。为了处理这个表达式，我们引入中间变量u等于g(x)，v等于g(x+h)。关键的代数技巧是将分子分母同时乘以v减u，这样就分离出了两个重要的部分。
现在我们需要处理分离后的两个极限。第一个极限是f(v)减f(u)除以v减u，当h趋于0时v趋于u。由于函数的连续性，这个极限就是f在u点的导数f'(u)。第二个极限是g(x+h)减g(x)除以h，这正是g(x)的导数定义，等于g'(x)。通过这样的极限处理，我们成功地将复合函数的导数分解为两个基本函数导数的乘积。
现在我们完成链式法则的完整证明。从导数的定义开始，我们将复合函数F(x)等于f(g(x))代入，通过引入中间变量和巧妙的代数变换，将原式分解为两个极限的乘积。利用函数连续性和导数定义，我们得到最终结果：复合函数的导数等于外函数在内函数处的导数乘以内函数的导数。这就是著名的链式法则。让我们用一个例子验证：对于F(x)等于(x²+1)³，应用链式法则得到F'(x)等于6x(x²+1)²。