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复合函数是数学中的重要概念。复合函数f(g(x))表示外函数f作用于内函数g(x)的结果。例如sin(x²)中，x²是内函数，sin是外函数。ln(3x+1)中，3x+1是内函数，ln是外函数。理解内外函数的结构是掌握复合函数求导的关键。
链式法则是复合函数求导的核心。对于复合函数f(g(x))，其导数等于外函数f在g(x)处的导数乘以内函数g在x处的导数。从增量比的角度看，当x发生微小变化时，变化率通过内函数g传递到外函数f，形成链式传递关系。这就是链式法则的几何直观。
现在通过几个基础例子来练习链式法则的应用。对于(2x+1)³，外函数是三次方，内函数是2x+1，导数为3(2x+1)²乘以2，得到6(2x+1)²。对于sin(3x)，外函数是正弦，内函数是3x，导数为cos(3x)乘以3。对于e^(x²)，外函数是指数函数，内函数是x²，导数为e^(x²)乘以2x。关键是正确识别内外函数并逐步求导。
对于多层复合函数如sin(ln(x²+1))，需要从外到内逐层分解。最外层是sin函数，中间层是ln函数，最内层是x²+1。求导时，先对最外层sin求导得cos，再对ln求导得1/u，最后对x²+1求导得2x。根据链式法则，最终结果是三个导数的乘积，即2x·cos(ln(x²+1))除以(x²+1)。
通过综合练习来巩固复合函数求导法则。对于cos(e^(2x))，外函数是余弦，内函数是e^(2x)，结果是负2e^(2x)sin(e^(2x))。对于ln(sin(x²))，这是三层复合，最终得到2x·cot(x²)。对于(ln(x+1))³，结果是3(ln(x+1))²除以(x+1)。解题关键是正确识别函数层次，逐步应用链式法则，注意不要遗漏任何一层的导数。