### **标准解题过程示范** **题目**： 已知三角形两边长分别为2和5，第三边是方程 \( x^2 - 7x + 10 = 0 \) 的根，求这个三角形的周长。 --- #### **第一步：解一元二次方程** **目标**：求出方程的实数根。 **步骤**： 1. 解方程 \( x^2 - 7x + 10 = 0 \)： - **因式分解法**： \[ x^2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5) = 0 \] - **解得**： \[ x = 2 \quad \text{或} \quad x = 5 \] **结论**：方程的两个根为 **2** 和 **5**。 --- #### **第二步：验证三角形边长条件** **目标**：排除不符合三角形三边关系的解。 **几何原理**：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 **验证过程**： 1. **当第三边 \( x = 2 \)**： - 检查 \( 2 + 2 > 5 \)： \[ 4 > 5 \quad \text{（不成立）} \] - **结论**：不能构成三角形，舍去。 2. **当第三边 \( x = 5 \)**： - 检查 \( 2 + 5 > 5 \)： \[ 7 > 5 \quad \text{（成立）} \] - 检查 \( |2 - 5| < 5 \)： \[ 3 < 5 \quad \text{（成立）} \] - **结论**：可以构成三角形，保留。 --- #### **第三步：计算三角形周长** **已知边长**：2、5、5（第三边取有效值5）。 **周长公式**： \[ \text{周长} = \text{边}_1 + \text{边}_2 + \text{边}_3 \] **计算**： \[ 2 + 5 + 5 = 12 \] --- #### **第四步：总结答案** **最终结论**：这个三角形的周长为 \(\boxed{12}\)。