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基本不等式是数学中的重要不等式，它表述为：对于任意两个正数a和b，几何平均数√(ab)小于等于算术平均数(a+b)/2。几何平均数反映了两个数的乘积关系，而算术平均数反映了两个数的和的关系。从数轴上可以直观地看到，几何平均数总是位于算术平均数的左侧或重合。
现在我们用代数方法证明基本不等式。首先，我们知道任何实数的平方都大于等于零，所以(√a - √b)²≥0恒成立。展开这个完全平方式，得到a - 2√(ab) + b ≥ 0。将-2√(ab)移到右边，得到a + b ≥ 2√(ab)。最后两边同时除以2，得到(a+b)/2 ≥ √(ab)，即√(ab) ≤ (a+b)/2。证明完毕。
现在用几何方法证明基本不等式。我们以长度为a+b的线段为直径画一个半圆。在距离左端点a的位置作一条垂线，交半圆于一点。根据几何性质，这条垂线的长度恰好等于√(ab)。而半圆的半径为(a+b)/2。由于圆内任意一点到圆心的距离都不超过半径，所以垂线长度√(ab)不会超过半径(a+b)/2，即√(ab) ≤ (a+b)/2。
现在分析等号成立的条件。基本不等式中等号成立的充要条件是a等于b。从代数角度看，当a等于b时，(√a - √b)²等于0，此时不等式变为等式。从几何角度看，当a等于b时，垂线恰好通过半圆的圆心，垂线长度等于半径，即√(ab)等于(a+b)/2。这就是基本不等式取等号的唯一条件。
让我们通过具体例子验证基本不等式。例1：当a等于4，b等于9时，几何平均数√(ab)等于6，算术平均数(a+b)/2等于6.5，确实6小于6.5。例2：当a等于2，b等于8时，几何平均数等于4，算术平均数等于5，4小于5。从柱状图可以直观看出几何平均数总是小于等于算术平均数。基本不等式在优化问题中有重要应用，帮助我们求解最值问题。