证明基本不等式成立---**Textual Information:** **Title:** 第4讲 均值不等式及综合应用 (Lecture 4: Mean Inequality and Comprehensive Application) **Section: 【知识梳理】 (Knowledge Review)** **Content:** 1. **基本不等式 (Basic Inequality)** (1) 基本不等式 (Basic Inequality): √ab ≤ (a + b) / 2 (a > 0, b > 0) (2) 等号成立的条件: 当且仅当 a = b 时取等号. (Condition for equality: Equality holds if and only if a = b.)

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基本不等式是数学中的重要不等式，它表明对于任意两个正数a和b，几何平均数总是小于或等于算术平均数。几何平均数是根号ab，算术平均数是a加b除以2。让我们通过具体的数值例子来验证这个不等式的成立。 基本不等式是数学中的重要不等式，它表明对于任意两个正数a和b，它们的几何平均数小于等于算术平均数。用公式表示就是根号ab小于等于a加b除以2。等号成立的条件是当且仅当a等于b时。 现在我们用代数方法严格证明基本不等式。证明的关键思路是从完全平方式的非负性出发。我们知道任何实数的平方都大于等于零，所以根号a减根号b的平方大于等于零。展开这个完全平方式，得到a减2倍根号ab加b大于等于零。移项整理后得到a加b大于等于2倍根号ab。两边同时除以2，就得到了我们要证明的基本不等式。 基本不等式还可以用几何方法证明。我们可以利用圆的几何性质：在半圆中，任意弦长的一半都小于等于半径。具体来说，如果我们构造一个直径为a加b的半圆，那么圆上任意一点到直径两端点连线形成的弦长最大为直径长度，而当这个点使得弦长为2倍根号ab时，弦长的一半根号ab就小于等于半径a加b除以2。 让我们通过几个具体例子来应用基本不等式。例1验证了当a等于4，b等于9时，根号ab等于6，而a加b除以2等于6.5，确实6小于等于6.5。例2求解在x加y等于10的约束下xy的最大值，利用基本不等式可得xy最大为25。例3求解在a加b等于6时根号ab的最大值，答案是3，当且仅当a等于b等于3时取得。 让我们总结一下基本不等式的要点。首先是公式，对于正数a、b，根号ab小于等于a加b除以2。其次是等号成立条件，当且仅当a等于b时取等号。第三是几何意义，表示几何平均小于等于算术平均。第四是它在求最值问题中的重要应用。基本不等式还可以拓展到三个数的情况，以及加权平均不等式和柯西施瓦茨不等式等更一般的形式。 现在我们用几何方法证明基本不等式。构造一个直径为a加b的半圆，在直径上取一点C，使得AC等于a，CB等于b。过点C作垂直于直径的弦CP。根据直角三角形的性质，弦长CP等于2倍根号ab，所以弦长的一半等于根号ab。而半圆的半径等于直径的一半，即a加b除以2。由于弦长的一半不能超过半径，所以根号ab小于等于a加b除以2。 现在我们分析等号成立的条件。基本不等式的等号成立当且仅当a等于b。从代数证明可以看出，当完全平方式根号a减根号b的平方等于零时，必须有根号a等于根号b，即a等于b。从几何角度看，当a等于b时，点C位于直径中点，此时弦长达到最大值。我们用数值验证：当a等于b等于4时，根号ab和a加b除以2都等于4；而当a等于2、b等于8时，根号ab等于4小于a加b除以2等于5。 让我们总结基本不等式的证明方法。我们学习了两种主要的证明方法：代数证明和几何证明。代数证明利用完全平方式的非负性质，从根号a减根号b的平方大于等于零出发，逐步推导得出基本不等式。几何证明则构造半圆图形，利用弦长不超过直径的几何性质来证明。两种方法虽然思路不同，但都严格证明了对于正数a、b，根号ab小于等于a加b除以2，且等号成立当且仅当a等于b。这个不等式在数学中有广泛应用，是解决最值问题的重要工具。