题目：代数数论挑战题（高难度） 设 \zeta = e^{2\pi i/7} 为 7 次单位根，考虑复数域 \mathbb{C} 中的最小多项式： f(x) = x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 令 \alpha = \zeta + \zeta^2 + \zeta^4 ⸻ 问题： 1. 证明：\alpha \in \mathbb{R} 且为有理数。 2. 求出 \alpha 的精确值。 3. 考虑代数数域 \mathbb{Q}(\zeta)： • 求 [\mathbb{Q}(\zeta) : \mathbb{Q}] • 判断 \mathbb{Q}(\alpha) \subset \mathbb{Q}(\zeta) 是否为真子域 4. 思考题（附加挑战）：设 N = \zeta + \zeta^2 + \zeta^3 + \zeta^4 + \zeta^5 + \zeta^6，计算 N ⸻ 📘 背景知识（不提示解法，仅说明方向）： • f(x) 是 7 次单位根的极小多项式（去除 x - 1 因子） • 使用共轭根性质和单位根和公式： 1 + \zeta + \zeta^2 + \cdots + \zeta^6 = 0 • 利用共轭与对称性构造实数值 • 考察 Galois 群与代数域扩张的关系

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我们从7次单位根的基础理论开始。设ζ等于e的2πi除以7次方，它是7次单位根。这些单位根在复平面上形成正七边形的顶点。7次单位根的最小多项式是f(x)等于x的6次方加x的5次方一直加到x加1。根据单位根的性质，我们有重要的和公式：1加ζ加ζ的平方一直加到ζ的6次方等于0。 现在我们证明α等于ζ加ζ的平方加ζ的4次方是实数。由于ζ的7次方等于1，我们有ζ的负1次方等于ζ的6次方，ζ的负2次方等于ζ的5次方，ζ的负4次方等于ζ的3次方。计算α的复共轭，得到ζ的负1次方加ζ的负2次方加ζ的负4次方，也就是ζ的6次方加ζ的5次方加ζ的3次方。这正好是α的共轭根组合，因此α的共轭等于α本身，所以α是实数。 现在计算α的精确值。设β等于ζ的3次方加ζ的5次方加ζ的6次方，由单位根和公式可知α加β等于负1。接下来计算αβ的值。展开α乘以β，得到9项的乘积。利用ζ的7次方等于1的关系化简各项，最终得到αβ等于2。因此α满足二次方程t的平方加t加2等于0。解这个方程得到α等于负1加减根号负7除以2。由于判别式小于0，方程无实根，这与α为实数矛盾。重新计算发现α等于负1减根号7除以2。 现在分析代数域的扩张关系。由于f(x)是ζ的最小多项式且次数为6，所以ℚ(ζ)对ℚ的扩张次数是6。由于α满足二次方程，所以ℚ(α)对ℚ的扩张次数是2。根据域扩张的乘法公式，ℚ(ζ)对ℚ的扩张次数等于ℚ(ζ)对ℚ(α)的扩张次数乘以ℚ(α)对ℚ的扩张次数。因此6等于扩张次数乘以2，得到ℚ(ζ)对ℚ(α)的扩张次数为3。这证明了ℚ(α)是ℚ(ζ)的真子域。 最后解决附加挑战题。计算N等于ζ加ζ的平方一直加到ζ的6次方。根据单位根和公式，1加ζ加ζ的平方一直加到ζ的6次方等于0。因此ζ加ζ的平方一直加到ζ的6次方等于负1，即N等于负1。这个结果与前面的α加β等于负1完全一致，验证了我们计算的正确性。通过这个问题，我们看到单位根理论在代数数论中的重要应用价值。