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我们有一个直角三角形ABC，其中角A等于90度，AB等于9，AC等于12。以A为圆心作半径为6的圆，在圆上有一个动点P。我们的目标是求2BP加3CP的最小值。这是一个关于动点P的优化问题。让我们看看当P点在圆上移动时，BP和CP距离是如何变化的。
我们的目标函数是2BP加3CP，这不是简单的距离和，而是加权距离和。系数2和3表示不同的权重，使得BP和CP在目标函数中的重要性不同。直接求解这样的加权距离问题比较困难，我们需要通过适当的变换将其转化为普通距离问题。通过坐标变换，我们可以将加权距离转化为新坐标系下的普通距离，从而简化求解过程。
我们建立坐标系，设动点P的坐标为6cosθ, 6sinθ。通过坐标变换u等于2x，v等于3y，将原问题转化为新坐标系下的优化问题。在新坐标系中，原来的圆变成了椭圆，方程为u²除以144加v²除以324等于1。同时，B点变换为B'(18,0)，C点变换为C'(0,36)。这样，原来的加权距离问题就转化为椭圆上的点到两个定点的普通距离问题。
在新坐标系中，问题转化为椭圆u²除以144加v²除以324等于1上的点到直线3u加2v减54等于0的最短距离。我们使用椭圆的参数方程u等于12cosφ，v等于18sinφ。点到直线的距离公式为d等于3u加2v减54的绝对值除以根号13。将参数方程代入，得到距离函数关于φ的表达式。通过求导可以找到使距离最小的φ值。
通过椭圆的参数方程，我们将距离函数表示为关于φ的函数。令cosφ加sinφ等于t，可以写成根号2乘以sin(φ加π/4)的形式，t的取值范围是负根号2到根号2。当t等于1.5时距离为0，但1.5大于根号2，所以实际的最小值在t等于根号2时取得。计算得到最小距离为30除以根号13。因此，2BP加3CP的最小值为30。