视频字幕
我们来分析这个几何最值问题。题目给出直角三角形ABC，其中角A为90度，AB等于9，AC等于12。以A为圆心作半径为6的圆，P是圆上的动点。我们需要求2BP加3AP的最小值。首先建立坐标系，将A点设为原点，B点在x轴正方向距离9个单位，C点在y轴正方向距离12个单位。
现在我们来简化目标函数。由于点P在以A为圆心、半径为6的圆上运动，所以AP始终等于6，是一个常数。因此，2BP加3AP等于2BP加18。这样，我们的问题就转化为求BP的最小值。让我们观察当P点在圆上移动时，BP距离是如何变化的。
根据几何最值原理，当点B在圆外时，从B到圆上各点距离的最小值等于BA减去圆的半径r。首先我们计算BA的长度，利用勾股定理：BA等于根号下9的平方加12的平方，等于根号225，即15。因此BP的最小值等于15减6，等于9。最优点P位于线段BA延长线与圆的交点处。
现在我们计算最终答案。已知BP的最小值为9，AP恒等于6，因此2BP加3AP的最小值等于2乘以9加3乘以6，等于18加18，等于36。我们可以验证这个结果：最优点P确实位于从B点向A点方向延伸，与圆相交的位置。此时BP达到最小值9，整个表达式取得最小值36。
让我们总结这道几何最值问题的解题方法。关键步骤包括：首先识别常数项AP等于6；然后转化目标函数为2BP加18；接着应用几何最值原理，BP的最小值等于BA减去半径；最后计算得出答案36。这类问题的核心是分离常数项和变量项，利用点到圆距离的几何性质，找到最优点位置。掌握这种方法可以解决更多类似的几何最值问题。