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空间向量是解决立体几何问题的重要工具。在三维坐标系中，任意一点P的位置向量可以表示为OP等于x、y、z的坐标形式。向量的模长公式是根号下x平方加y平方加z平方。两个向量的数量积等于对应坐标的乘积之和，而两向量夹角的余弦值等于数量积除以两向量模长的乘积。这些基础公式是我们用向量法解决空间角与距离问题的核心工具。
空间角的向量解法包括三种基本类型。异面直线夹角通过两直线方向向量的数量积绝对值来计算，余弦值等于数量积绝对值除以模长乘积。直线与平面夹角用直线方向向量与平面法向量计算，正弦值等于数量积绝对值除以模长乘积。二面角通过两个半平面的法向量计算，余弦值等于法向量数量积绝对值除以模长乘积。需要注意的是，这些角度的范围都在0度到90度之间。
我们通过正四面体中异面直线夹角的例题来深化理解。在正四面体ABCD中，要求AB与CD的夹角。首先建立坐标系，设A为(1,1,1)，B为(-1,-1,1)，C为(-1,1,-1)，D为(1,-1,-1)。然后求出方向向量：AB向量为(-2,-2,0)，CD向量为(2,-2,0)。最后计算夹角，两向量的数量积为负4加4等于0，所以余弦值为0，因此夹角为90度。这说明正四面体中相对的棱是互相垂直的。
直线与平面夹角是指直线与其在平面上投影所成的角。用向量法求解时，正弦值等于直线方向向量与平面法向量数量积的绝对值，除以两向量模长的乘积。关键是求出平面的法向量。设平面法向量为n等于xyz，它与平面内任意两个不共线向量都垂直，由此可建立方程组求解。在长方体或其他规则几何体中，法向量的求解会更加简便。
空间距离问题主要包括三种类型：点到平面距离、直线到平面距离和异面直线距离。其中点到平面距离是最基础的。设平面上有一点A，目标点为P，平面法向量为n，则点P到平面的距离等于向量AP与法向量n的数量积绝对值除以法向量的模长。这个公式的几何意义是向量AP在法向量方向上的投影长度。直线到平面的距离可以转化为直线上任一点到平面的距离来求解。