生成这个题目的讲解---**Question Stem:** 15. 记函数 f(x) = cos(ωx + φ) (ω > 0, 0 < φ < π) 的最小正周期为 T, 若 f(T) = √3/2, x = π/9 为 f(x) 的零点, 则 ω 的最小值为 ____. **Mathematical Formulas/Equations:** * Function definition: f(x) = cos(ωx + φ) * Conditions on parameters: ω > 0, 0 < φ < π * Period: T is the smallest positive period of f(x) * Condition 1: f(T) = √3/2 * Condition 2: f(π/9) = 0 (since x = π/9 is a zero point of f(x))

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我们来分析这道三角函数题目。已知函数f(x)等于cos(ωx + φ)，其中ω大于0，φ在0到π之间。题目给出两个关键条件：函数在一个周期T处的值等于根号3除以2，以及π/9是函数的零点。我们需要利用余弦函数的基本性质来求解。余弦函数的周期公式是T等于2π除以ω，当余弦值为0时，角度等于π/2加kπ，当余弦值为根号3除以2时，角度为π/6。 现在我们分析零点条件。由于x等于π/9是函数的零点，所以f(π/9)等于0。将函数表达式代入，得到cos(ω乘以π/9加φ)等于0。根据余弦函数的性质，当余弦值为0时，角度等于π/2加kπ，其中k是整数。因此我们得到ω乘以π/9加φ等于π/2加kπ。整理后得到φ等于π/2加kπ减去ω乘以π/9。结合φ的取值范围0小于φ小于π，我们可以确定k的可能取值。 接下来分析周期条件。已知f(T)等于根号3除以2，其中T是最小正周期。根据余弦函数的周期公式，T等于2π除以ω。将T代入函数得到f(2π/ω)等于cos(ω乘以2π/ω加φ)，化简后得到cos(2π加φ)等于cos(φ)。因此我们有cos(φ)等于根号3除以2。根据余弦函数的性质，当余弦值为根号3除以2时，在0到π的范围内，φ等于π/6。 现在我们将φ等于π/6代入零点条件的方程。将φ等于π/6代入π/6等于π/2加kπ减去ω乘以π/9，整理得到ω乘以π/9等于π/2加kπ减去π/6，化简后得到ω乘以π/9等于π/3加kπ。因此ω等于3加9k。由于ω必须大于0，我们分析不同k值：当k等于0时ω等于3，当k等于负1时ω等于负6不符合条件，当k等于1时ω等于12。 最后我们验证ω等于3是否满足所有条件。当ω等于3，φ等于π/6时，检验零点条件：f(π/9)等于cos(3乘以π/9加π/6)等于cos(π/2)等于0，满足条件。检验周期条件：T等于2π/3，f(T)等于cos(3乘以2π/3加π/6)等于cos(π/6)等于根号3除以2，也满足条件。因此ω等于3是满足所有条件的最小正值，答案是3。