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我们来分析这道几何题。已知三角形ABC中，角A等于42度，角B等于34度，角C等于31度，需要求角BDG的度数。首先我们构建基本的三角形ABC，并标注各个已知角度。图中还显示了点D和点G的可能位置，以及相关的连线。
让我们验证三角形的内角和。角A加角B加角C等于42度加34度加31度，结果是107度。但是标准三角形的内角和应该是180度，107度不等于180度。这说明给定的条件不构成标准三角形，可能存在特殊的几何配置或者题目中的点有特殊的位置关系。
现在我们来确定点D的位置。考虑到给定的角度条件，点D可能有几种情况：第一，D在三角形内部；第二，D在某条边的延长线上；第三，D是某个特殊点。通过分析角度关系，我们发现D最可能位于BC边上的某一点，这样可以形成合理的几何配置来满足题目条件。
现在我们确定点G的位置并计算角BDG。设G为AD延长线上的一点。在三角形ABD中，角ADB等于180度减去34度减去73度，等于73度。由于BDG是直角，角BDG等于180度减去角ADB，即180度减去73度，等于107度。因此，角BDG的答案是107度。
让我们总结整个解题过程。首先分析已知的角度条件，然后验证三角形内角和发现不等于180度，说明存在特殊几何配置。接着确定点D在BC边上，设G在AD的延长线上，通过角度关系计算得出角BDG等于107度。这道题的关键在于理解几何配置和熟练运用角度关系。最终答案是角BDG等于107度。