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我们来看一个组合问题：从5个不同颜色的球中取出3个球，问有多少种不同的取法？这里有红、黄、蓝、绿、白五个球。注意这是组合问题，我们只关心选择哪些球，不关心取球的顺序。比如选择红黄蓝和选择蓝红黄是同一种取法。
现在我们来推导组合公式。首先考虑排列问题：从5个球中取3个球的排列数是A(5,3)等于5的阶乘除以2的阶乘，等于60种。但排列考虑顺序，而组合不考虑顺序。对于任意3个球，它们可以排成3的阶乘即6种不同的排列，但这6种排列在组合中只算1种。因此组合数C(5,3)等于排列数除以3的阶乘，即60除以6等于10种。
现在我们来详细计算C(5,3)。根据组合公式，C(5,3)等于5的阶乘除以3的阶乘乘以2的阶乘。首先计算各个阶乘：5的阶乘等于5乘4乘3乘2乘1等于120；3的阶乘等于3乘2乘1等于6；2的阶乘等于2乘1等于2。将这些值代入公式：C(5,3)等于120除以6乘2，即120除以12，最终结果等于10。
为了验证我们的计算结果，让我们枚举所有可能的组合。从5个球中选3个球的所有组合包括：红黄蓝、红黄绿、红黄白、红蓝绿、红蓝白、红绿白、黄蓝绿、黄蓝白、黄绿白、蓝绿白。我们可以看到，总共有10种不同的组合，这验证了我们用公式计算得到的结果C(5,3)等于10是正确的。
让我们总结一下解决组合问题的两种方法。方法一是公式法，使用组合公式C(n,r)等于n的阶乘除以r的阶乘乘以n减r的阶乘，适用于大数计算，快速准确。方法二是枚举法，逐一列出所有可能的组合，适用于小数验证，直观易理解。组合数还有对称性质，C(5,3)等于C(5,2)等于10。这类问题在实际生活中应用广泛，比如抽奖、选队、排班等场景。因此，从5个不同颜色的球中取出3个球，共有10种不同的取法。