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我们来分析一个企业利润最大化的问题。某公司的成本函数为C(x)等于1000加20x，其中x是产品数量。这里1000元是固定成本，不管生产多少都要支付；20元是每件产品的变动成本。产品销售价格为每件150元。我们需要建立利润函数并找到最优生产数量。
现在我们建立收入函数。收入等于单价乘以销售数量，由于每件产品售价150元，所以收入函数为R(x)等于150x。这是一个通过原点的直线，斜率为150。图中绿色线表示收入函数，红色线表示成本函数。可以看出，收入函数是线性增长的，而成本函数也是线性的但有固定成本。
现在推导利润函数。利润等于收入减去成本，即P(x)等于R(x)减C(x)。将收入函数150x和成本函数1000加20x代入，得到P(x)等于150x减去括号1000加20x。展开括号得到150x减1000减20x，合并同类项得到最终的利润函数P(x)等于130x减1000。图中蓝色线表示利润函数。
现在分析利润函数的性质。首先计算盈亏平衡点，令P(x)等于0，得到130x减1000等于0，解得x约等于7.69件。这意味着当产量小于7.69件时企业亏损，大于7.69件时开始盈利。由于利润函数P(x)等于130x减1000是一次函数且斜率为正，所以利润随产量单调递增。图中红色区域表示亏损，绿色区域表示盈利。
最后分析最优生产数量。由于利润函数P(x)等于130x减1000是斜率为正的一次函数，理论上生产数量越多利润越大，没有最大值。但在实际生产中，企业面临市场需求限制、生产能力约束和资源供应限制等因素。因此最优生产数量应该是在满足所有约束条件下，使利润最大化的产量水平。企业需要根据具体的市场和生产条件来确定最优产量。